Chủ đề này có 2 trả lời

[Lamat]

Tính:

$I = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} \frac{x + (x + sinx)sinx}{sin^2 x (1 + sinx)} dx$

[Crystal]

Tính:

$I = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} \frac{x + (x + sinx)sinx}{sin^2 x (1 + sinx)} dx$

Hướng dẫn:

Tích phân được viết lại \[I = \int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{{2\pi }}{3}} {\frac{{x\left( {1 + \sin x} \right) + {{\sin }^2}x}}{{{{\sin }^2}x\left( {1 + \sin x} \right)}}dx = } \int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{{2\pi }}{3}} {\left( {\frac{x}{{{{\sin }^2}x}} + \frac{1}{{1 + \sin x}}} \right)dx = {I_1} + {I_2}} \]
Đến đây bạn dùng từng phần để tính hai tích phân thành phân trên là OK.

---

[vietfrog]

Tính:

$I = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} \frac{x + (x + sinx)sinx}{sin^2 x (1 + sinx)} dx$

Muộn rồi. Xin phép nêu hướng làm.

\[\begin{array}{l}
I = \int_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{{2\pi }}{3}} {\frac{{x + (x + sinx)sinx}}{{si{n^2}x(1 + sinx)}}} dx\\
\Leftrightarrow I = \int {\frac{{\left( {\sin x + 1} \right)x + {{\sin }^2}x}}{{{{\sin }^2}x(1 + \sin x)}}dx} = \int {\left( {\frac{x}{{{{\sin }^2}x}} + \frac{1}{{\sin x + 1}}} \right)dx} \\
\Leftrightarrow I = \int {\frac{x}{{{{\sin }^2}x}}dx} + \int {\frac{{\sin x + 1 - \sin x}}{{\sin x + 1}}dx}
\end{array}\]