Chủ đề này có 8 trả lời

[cold_noodles97]

Cho $x,y,z$ là các số thực không âm thỏa $x+y+z=1$
CMR : $x+2y+z\geq 4(1-x)(1-y)(1-z)$

[minh29995]

Cho $x,y,z$ là các số thực không âm thỏa $x+y+z=1$
CMR : $x+2y+z\geq 4(1-x)(1-y)(1-z)$

Đặt x+y=a; y+z=b; z+x=c ta được:
a+b+c=2 và BĐT cần chứng minh tương đương với:
$a+b\geq 4abc$
$\Leftrightarrow 2-c-4abc\geq 0$ (*)
ta có:
$4ab \leq (a+b)^{2}$ nên
$VT(*)\geq 2-c-(2-c)^{2}.c$
Cần chứng minh:
$2-c-(2-c)^{2}.c\geq 0$
$\Leftrightarrow (c-1)^{2}(2-c)\geq 0$
BĐT này đúng do 2-c>0
Dấu bằng xảy ra khi $x=z=\frac{1}{2}$ và y=0

[danganhaaaa]

Cho $x,y,z$ là các số thực không âm thỏa $x+y+z=1$
CMR : $x+2y+z\geq 4(1-x)(1-y)(1-z)$

đâu cần phải làm như vậy !
ta có 4(1-z)(1-x)$\leq$$(2-x-z)^{2}$=$(1+y)^{2}$
suy ra 4(1-x)(1-y)(1-z)$\leq$$(1-y)(1+y)^{2}$=$(1-y^{2}).(1+y)\leq 1+y=x+2y+z$

[DISNEY JUNIOR]

cac bac tham khao xem bai cua mih nhak
Áp dụng BĐT cô-si cho 2 số 1-X và 1-z ta được:

$\frac{1-x+1-z}{2}\geq \sqrt{(1-x)(1-z)}$
$\Leftrightarrow (1-x)(1-z)\leq \left ( \frac{1-x+1-z}{2} \right )^{2}$
$\Leftrightarrow 4(1-x)(1-z)\leq \left ( 1+y \right )^{2}$

$\Leftrightarrow 4(1-x)(1-z)(1-y)\leq \left ( 1+y \right )^{2}(1-y)$

mặt khác $1-y^{2}\leq 1$

$(1+y)^{2}(1-y)=(1+y)(1-y^{2})=(x+2y+z)(1-y^{2})$
do đó:$4(1-x)(1-y)(1-z)\leq x+2y+z$ (dpcm)

[Element hero Neos]

còn cách nào khác không ạ?

[Coppy dera]

Cho $x,y,z$ là các số thực không âm thỏa $x+y+z=1$
CMR : $x+2y+z\geq 4(1-x)(1-y)(1-z)$

 

 

còn cách nào khác không ạ?

BĐT $<=>$ $x+y+y+z \geq 4(x+y)(y+z)(z+x)$

Đặt $a=y+z,b=z+x,c=x+y$

BĐT $<=>$ $b+c \geq 4abc$

$2-a \geq 4abc$

$2-a-4abc \geq 0$

rồi cmtt phần trên

[lethutang7dltt]

Cho $x,y,z$ là các số thực không âm thỏa $x+y+z=1$
CMR : $x+2y+z\geq 4(1-x)(1-y)(1-z)$

$\Leftrightarrow x+2y+z\geq 4(x+y)(y+z)(z+x)\Leftrightarrow \frac{1}{4(x+z)(y+z)}+\frac{1}{4(x+z)(x+y)}\geq 1$

Thật vậy,ta có:$\frac{1}{z+x}(\frac{1}{4(y+z)}+\frac{1}{4(x+y)})\geq \frac{1}{z+x}.\frac{1}{x+y+y+z}=\frac{1}{y^{2}-1}$

Dễ thấy :$(x+y+z)^{2}+1\geq y^{2}=>1\geq  y^{2}-1=>\frac{1}{y^{2}-1}\geq 1$

$=>đpcm$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lethutang7dltt: 15-08-2015 - 14:03

[Namthemaster1234]

$\Leftrightarrow x+2y+z\geq 4(x+y)(y+z)(z+x)\Leftrightarrow \frac{1}{4(x+z)(y+z)}+\frac{1}{4(x+z)(x+y)}\geq 1$

Thật vậy,ta có:$\frac{1}{z+x}(\frac{1}{4(y+z)}+\frac{1}{4(x+y)})\geq$ $\frac{1}{z+x}.\frac{1}{x+y+y+z}=\frac{1}{y^{2}-1}$

Dễ thấy :$(x+y+z)^{2}+1\geq y^{2}=>1\geq y^{2}-1=>\frac{1}{y^{2}-1}\geq 1$

$=>đpcm$

 

Chỗ màu đỏ đáng ra phải là: $= \frac{1}{1-y^2} $ mới đúng và áp dụng ngay bđt $1-y^2 \leq 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Namthemaster1234: 14-08-2015 - 20:34

[lethutang7dltt]

Chỗ màu đỏ đáng ra phải là: $= \frac{1}{1-y^2} $ mới đúng và áp dụng ngay bđt $1-y^2 \leq 1$

ukm mk nhầm xíu,thanks