Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh đoạn thẳng $DF$ luôn đi qua một điểm cố định khi $M$ di chuyển trên $AB$ cố định.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
cvp

cvp

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 400 Bài viết
Gọi $M$ là điểm bất kì thuộc đoạn thẳng $AB$. Vẽ về một nửa mặt phẳng có bờ là $AB$ các hình vuông $AMCD, BMEF$.
a. Chứng minh $AE$ vuông góc với $BC$
b. Gọi $H$ là giao của $AE$ và $BC$. Chứng minh ba điểm $D,H,F$ thẳng hàng.
c. Chứng minh đoạn thẳng $DF$ luôn đi qua một điểm cố định khi $M$ di chuyển trên $AB$ cố định.
d. Tìm tập hợp các trung điểm $K$ của đoạn thẳng nối tâm hai hình vuông khi $M$ chuyển động trên đoạn thẳng $AB$ cố định.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cvp: 19-05-2012 - 15:38

Hình đã gửi


#2
cvp

cvp

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 400 Bài viết
a)
$\Delta AEM=\Delta CBM (c.g.c) \Rightarrow \widehat{AEM}=\widehat{CBM}\Rightarrow \widehat{HAM}+\widehat{AEM}=\widehat{HAM}+\widehat{CBM}\Leftrightarrow \widehat{EHC}=90^o\Leftrightarrow BC\perp AE$
b)
Xét tứ giác $DHCA$ có $\widehat{ADC}=\widehat{AHC}$.
Suy ra tứ giác $DHCA$ nội tiếp đường tròn => $\widehat{DHA}=\widehat{DCA}=45^o(1)$.
Xét tứ giác $HEFB$ có $\widehat{EHB}=\widehat{EFB}=90^o$.
Suy ra tứ giác $HEFB$ nội tiếp đường tròn => $\widehat{BHF}=\widehat{BEF}=45^o(2)$.
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra :
$\widehat{DHA}+\widehat{BHF}=90^o \Leftrightarrow \widehat{DHA}+\widehat{AHB}+\widehat{BHF}=180^o\Leftrightarrow \widehat{DHF}=180^o$.
Từ đó suy ra $D;H;F$ thẳng hàng. $(\blacksquare)$.

Còn phần $c,d$ :angry:

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cvp: 19-05-2012 - 15:24

Hình đã gửi


#3
mituot03

mituot03

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 65 Bài viết
c)Gọi giao điểm của DF và AC là T, kẻ TT' $\perp$AB tại T'
Có OD=OM. OT // MF $\Rightarrow$ TD=TF
áp dụng tính chất đường trung binh với TG ADFB $\Rightarrow$ TT' = $\frac{1}{2} AB$
$\Rightarrow$ T cố định $\Rightarrow$ đpcm
Mod: $\LaTeX$ cẩn thận bạn nhé.

d) Gọi O và O' lần lượt là giao hai đường chéo của hình vuông AMCD và BMEF.
Kéo dài BE cắt AC tại I$\Rightarrow$ IO'MO là hcn
$\Rightarrow$K là trung điểm của IM
Hạ KK' vuông góc với AB tại K'
Dẽ có T$\equiv$ I
Xét $\Delta$ TMT'$\Rightarrow$ KK' = $\frac{1}{4}AB$
$\Rightarrow$ K chạy trên đường thẳng d//AB cách AB một khoảng bằng $\frac{1}{4}AB$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 19-05-2012 - 20:22





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh