Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Bosnia and Herzegovina TST 2012


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 20-05-2012 - 00:30

Bosnia and Herzegovina TST 2012


Day 1


$\boxed{1}$ Let $D$ be the midpoint of the arc $ B-A-C $ of the circumcircle of $ \triangle ABC (AB<AC) $. Let $E$ be the foot of perpendicular from $D$ to $AC$. Prove that $ |CE|=\frac{|BA|+|AC|}{2} $.

$\boxed{2}$ Prove for all positive real numbers $a,b,c$, such that $a^2+b^2+c^2=1$:
\[\frac{a^3}{b^2+c}+\frac{b^3}{c^2+a}+\frac{c^3}{a^2+b}\ge \frac{\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}.\]
$\boxed{3}$ Prove that for all odd prime numbers $p$ there exist a natural number $m<p$ and integers $x_1, x_2, x_3$ such that:
\[mp=x_1^2+x_2^2+x_3^2.\]

AoPS


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nsthanh: 22-05-2012 - 07:32


#2 NLT

NLT

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 871 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bình Định
  • Sở thích:I Love Mathematics :) <3

Đã gửi 20-05-2012 - 08:44

Bosnia and Herzegovina TST 2012

$\boxed{2}$ Prove for all positive real numbers $a,b,c$, such that $a^2+b^2+c^2=1$:
\[\frac{a^3}{b^2+c}+\frac{b^3}{c^2+a}+\frac{c^3}{a^2+b}\ge \frac{\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}.\]

$\fbox{2}$ Chứng minh rằng với mọi số thực dương $a,b,c$ sao cho $a^2+b^2+c^2=1$ thì
\[\frac{a^3}{b^2+c}+\frac{b^3}{c^2+a}+\frac{c^3}{a^2+b}\ge \frac{\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}.\]

SOLUTION:
Áp dụng Cauchy-Schwarz dạng Engel:
$\sum {\frac{{{a^3}}}{{{b^2} + c}} = \sum {\frac{{{a^4}}}{{a{b^2} + ca}}} } \ge \frac{{{{\left( {\sum {{a^2}} } \right)}^2}}}{{\sum {a{b^2}} + \sum {ab} }} = \frac{1}{{\sum {a{b^2}} + \sum {ab} }}$
Và có: $\sum {ab} \le \sum {{a^2}} = 1$
Cần chứng minh: $\sum {a{b^2}} \le \frac{{\sqrt 3 }}{3}$
Đặt $x = a\sqrt 3 ;y = b\sqrt 3 ;z = c\sqrt 3 \to x,y,z > 0\& \sum {{x^2}} = 3$
Như vậy cần chứng minh:$\sum {x{y^2}} \le 3$
Ta có hệ quả quen thuộc sau:
Với x,y,z >0 thỏa $\sum {{x^2}} = 3$ thì:
$\sum {x{y^2}} \le xyz + 2$
Và áp dụng AM-GM: $\sum {{x^2}} \ge 3\sqrt[3]{{{{\left( {xyz} \right)}^2}}} \Rightarrow xyz \le 1$
=>$\sum {x{y^2}} \le 1 + 2=3$
=> $Q.E.D$
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c$ = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$
--------
P/S: Vì vội nên phải làm ngắn gọn, mọi người thông cảm nhé :icon6:
--------

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 20-05-2012 - 08:45

GEOMETRY IS WONDERFUL !!!

Some people who are good at calculus think that they will become leading mathematicians. It's funny and stupid.


Nguyễn Lâm Thịnh

#3 Secrets In Inequalities VP

Secrets In Inequalities VP

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 309 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên Vĩnh Phúc
  • Sở thích:Xem phim.

Đã gửi 20-05-2012 - 13:22

[/right]

SOLUTION:
Áp dụng Cauchy-Schwarz dạng Engel:
$\sum {\frac{{{a^3}}}{{{b^2} + c}} = \sum {\frac{{{a^4}}}{{a{b^2} + ca}}} } \ge \frac{{{{\left( {\sum {{a^2}} } \right)}^2}}}{{\sum {a{b^2}} + \sum {ab} }} = \frac{1}{{\sum {a{b^2}} + \sum {ab} }}$
Và có: $\sum {ab} \le \sum {{a^2}} = 1$
Cần chứng minh: $\sum {a{b^2}} \le \frac{{\sqrt 3 }}{3}$
Đặt $x = a\sqrt 3 ;y = b\sqrt 3 ;z = c\sqrt 3 \to x,y,z > 0\& \sum {{x^2}} = 3$
Như vậy cần chứng minh:$\sum {x{y^2}} \le 3$
Ta có hệ quả quen thuộc sau:
Với x,y,z >0 thỏa $\sum {{x^2}} = 3$ thì:
$\sum {x{y^2}} \le xyz + 2$
Và áp dụng AM-GM: $\sum {{x^2}} \ge 3\sqrt[3]{{{{\left( {xyz} \right)}^2}}} \Rightarrow xyz \le 1$
=>$\sum {x{y^2}} \le 1 + 2=3$
=> $Q.E.D$
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c$ = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$
--------
P/S: Vì vội nên phải làm ngắn gọn, mọi người thông cảm nhé :icon6:
--------

Tù đây có cách khác nhanh hon : :lol:
$(\sum xy^{2})^{2}= (\sum x.xy)^{2}\leq \sum x^{2}.\sum x^{2}y^{2}\leq \sum x^{2}.\frac{(\sum x^{2})^{2}}{3}= 9$
$\Rightarrow \sum xy^{2}\leq 3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Secrets In Inequalities VP: 20-05-2012 - 13:22


#4 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 22-05-2012 - 07:28

Day 2


$\boxed{1}$ Define a function $ f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N} $, \[ f(1)=p+1, \]\[ f(n+1)=f(1)\cdot f(2)\cdots f(n)+p, \] where $p$ is a prime number. Find all $p$ such that there exists a natural number $k$ such that $ f(k) $ is a perfect square.

$\boxed{2}$ Given is a triangle $ \triangle ABC $ and points $M$ and $K$ on lines $AB$ and $CB$ such that $ AM=AC=CK $. Prove that the length of the radius of the circumcircle of triangle $ \triangle BKM $ is equal to the lenght $OI$, where $O$ and $I$ are centers of the circumcircle and the incircle of $ \triangle ABC $, respectively. Also prove that $ OI\perp MK $.

$\boxed{3}$ A unit square is divided into polygons, so that all sides of a polygon are parallel to sides of the given square. If the total length of the segments inside the square (without the square) is $2n$ (where $n$ is a positive real number), prove that there exists a polygon whose area is greater than $ \frac{1}{(n+1)^{2}} $.

#5 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4141 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 22-05-2012 - 10:55

$\fbox{2}.$ Cho $ \triangle ABC $ và hai điểm $M$ và $K$ trên đoạn $AB$ và $CB$ sao cho $ AM=AC=CK $. Chứng minh độ dài bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ \triangle BKM $ bằng độ dài cạnh $OI$ với $O$ và $I$ lần lượt là tâm của đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp $ \triangle ABC $. Ngoài ra hãy chứng minh $ OI\perp MK $.

Bài này là bài 2 của đề Beta thách đấu đội Gamma thì phải :D
Lời giải tại đây
http://diendantoanho...ndpost&p=299737
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.

#6 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4265 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 24-05-2012 - 07:39

Bosnia and Herzegovina TST 2012

Ngày 1


$\fbox{1}.$ Cho $D$ là trung điểm của của cung tròn $ B-A-C $ thuộc đường tròn ngoại tiếp $ \triangle ABC (AB<AC) $. Cho $E$ là chân đường vuông góc từ $D$ tới $AC$. Chứng minh $ |CE|=\frac{|BA|+|AC|}{2} $.

$\fbox{2}$ Chứng minh rằng với mọi số thực dương $a,b,c$ sao cho $a^2+b^2+c^2=1$ thì

\[\frac{a^3}{b^2+c}+\frac{b^3}{c^2+a}+\frac{c^3}{a^2+b}\ge \frac{\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}.\]

$\fbox{3}$ Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố lẻ $p$ luôn tồn tại số tự nhiên $m<p$ và các số nguyên $x_1,x_2,x_3$ sao cho \[mp=x_1^2+x_2^2+x_3^2.\]




Ngày 2


$\fbox{1}.$ Xác định hàm số $ f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N} $, \[ f(1)=p+1, \]\[ f(n+1)=f(1)\cdot f(2)\cdots f(n)+p, \] với $p$ là số nguyên tố. Tìm mọi số $p$ sao cho tồn tại số tự nhiên $k$ với $f(k)$ là số chính phương.

$\fbox{2}.$ Cho $ \triangle ABC $ và hai điểm $M$ và $K$ trên đoạn $AB$ và $CB$ sao cho $ AM=AC=CK $. Chứng minh độ dài bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ \triangle BKM $ bằng độ dài cạnh $OI$ với $O$ và $I$ lần lượt là tâm của đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp $ \triangle ABC $. Ngoài ra hãy chứng minh $ OI\perp MK $.




$\fbox{3}.$ Một hình vuông được chia thành đa giác, sao cho tất cả các mặt của đa giác được song song với hai mặt của hình vuông. Nếu tổng chiều dài các đoạn bên trong hình vuông (mà không có có hình vuông) là $2n$ (với $n$ là số thực dương). Chứng minh rằng có tồn tại một đa giác có diện tích lớn hơn $\dfrac{1}{(n+1)^2}$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 27-05-2012 - 22:16

“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#7 toanhoc2017

toanhoc2017

    Trung úy

  • Thành viên
  • 951 Bài viết

Đã gửi 16-02-2020 - 12:34

hay






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh