### Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ. # China Western Mathematical Olympiad 2011

Chủ đề này có 3 trả lời

### #1 Zaraki

Zaraki
• Giới tính:Nam
• Đến từ:Đảo mộng mơ.
• Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 22-05-2012 - 20:17

Day 1

$\fbox{1}.$ Given that $0 < x,y < 1$, find the maximum value of $\frac{xy(1-x-y)}{(x+y)(1-x)(1-y)}$

$\fbox{2}.$ Let $M$ be a subset of $\{1,2,3... 2011\}$ satisfying the following condition:
For any three elements in $M$, there exist two of them $a$ and $b$ such that $a|b$ or $b|a$.
Determine the maximum value of $|M|$ where $|M|$ denotes the number of elements in $M$

$\fbox{3}.$ Let $n \geq 2$ be a given integer
$a)$ Prove that one can arrange all the subsets of the set $\{1,2... ,n\}$ as a sequence of subsets $A_{1}, A_{2},\cdots , A_{2^{n}}$, such that $|A_{i+1}| = |A_{i}| + 1$ or $|A_{i}| - 1$ where $i = 1,2,3,\cdots , 2^{n}$ and $A_{2^{n} + 1} = A_{1}$
$b)$ Determine all possible values of the sum $\sum \limits_{i = 1}^{2^n} (-1)^{i}S(A_{i})$ where $S(A_{i})$ denotes the sum of all elements in $A_{i}$ and $S(\emptyset) = 0$, for any subset sequence $A_{1},A_{2},\cdots ,A_{2^n}$ satisfying the condition in $a)$

$\fbox{4}.$ In a circle $\Gamma_{1}$, centered at $O$, $AB$ and $CD$ are two unequal in length chords intersecting at $E$ inside $\Gamma_{1}$. A circle $\Gamma_{2}$, centered at $I$ is tangent to $\Gamma_{1}$ internally at $F$, and also tangent to $AB$ at $G$ and $CD$ at $H$. A line $l$ through $O$ intersects $AB$ and $CD$ at $P$ and $Q$ respectively such that $EP = EQ$. The line $EF$ intersects $l$ at $M$. Prove that the line through $M$ parallel to $AB$ is tangent to $\Gamma_{1}$

Day 2

$\fbox{1}.$ Does there exist any odd integer $n \geq 3$ and $n$ distinct prime numbers $p_1 , p_2, \cdots p_n$ such that all $p_i + p_{i+1} (i = 1,2,\cdots , n$ and $p_{n+1} = p_{1})$ are perfect squares?

$\fbox{2}.$ Let $a,b,c > 0$, prove that
$\frac{(a-b)^2}{(c+a)(c+b)} + \frac{(b-c)^2}{(a+b)(a+c)} + \frac{(c-a)^2}{(b+c)(b+a)} \geq \frac{(a-b)^2}{a^2+b^2+c^2}$

$\fbox{3}.$ In triangle $ABC$ with $AB>AC$ and incenter $I$, the incircle touches $BC,CA,AB$ at $D,E,F$ respectively. $M$ is the midpoint of $BC$, and the altitude at $A$ meets $BC$ at $H$. Ray $AI$ meets lines $DE$ and $DF$ at $K$ and $L$, respectively. Prove that the points $M,L,H,K$ are concyclic.

$\fbox{4}.$ Find all pairs of integers $(a,b)$ such that $n|( a^n + b^{n+1})$ for all positive integer $n$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 23-05-2012 - 07:32

“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

### #2 L Lawliet

L Lawliet
• Giới tính:Nữ

Đã gửi 22-05-2012 - 20:24

Day 1

$\fbox{1}.$ Given that $0 < x,y < 1$, find the maximum value of $\frac{xy(1-x-y)}{(x+y)(1-x)(1-y)}$

Day 2

$\fbox{2}.$ Let $a,b,c > 0$, prove that
$\frac{(a-b)^2}{(c+a)(c+b)} + \frac{(b-c)^2}{(a+b)(a+c)} + \frac{(c-a)^2}{(b+c)(b+a)} \geq \frac{(a-b)^2}{a^2+b^2+c^2}$

Khả năng có hạn nên chỉ dịch được 2 câu này thôi Day 1

$\fbox{1}.$ Cho hai số $x,y$ thỏa mãn $0 < x,y < 1$, tìm GTLN của $\frac{xy(1-x-y)}{(x+y)(1-x)(1-y)}$.

Day 2

$\fbox{2}.$ Cho $a,b,c > 0$, chứng minh rằng:
$\frac{(a-b)^2}{(c+a)(c+b)} + \frac{(b-c)^2}{(a+b)(a+c)} + \frac{(c-a)^2}{(b+c)(b+a)} \geq \frac{(a-b)^2}{a^2+b^2+c^2}$

Thích ngủ.

### #3 Tham Lang

Tham Lang
• Giới tính:Nam
• Sở thích:Tự kỉ ^^

Đã gửi 09-06-2012 - 09:21

Bài 2 ta chỉ cần sử dụng CS :
$$\dfrac{(a-c)^2}{(b+c)(b+a)}+\dfrac{(c-b)^2}{(a+b)(a+c)}\ge \dfrac{(a-b)^2}{a^2+b^2+2(ab+bc+ca)}\ge \dfrac{(a-b)^2}{3a^2+3b^2+2c^2}$$

$$\dfrac{1}{(c+a)(c+b)}\ge \dfrac{1}{2c^2+a^2+b^2}$$

$$\dfrac{1}{3a^2+3b^2+2c^2}+\dfrac{1}{2c^2+a^2+b^2}\ge \dfrac{4}{4a^2+4b^2+4c^2}$$
Suy ra ĐPCM.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huymit_95: 09-06-2012 - 09:46

Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......

### #4 toanhoc2017

toanhoc2017

Đã gửi 16-02-2020 - 02:01

hay

#### 1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh