Chủ đề này có 1 trả lời

[Linh Trang]

Biết $x^2+y^2-xy=1$.
Tìm Min, Max của $P=\frac{x^4+y^4+1}{x^2+y^2+1}$

[Crystal]

Biết $x^2+y^2-xy=1$.
Tìm Min, Max của $P=\frac{x^4+y^4+1}{x^2+y^2+1}$

HƯỚNG DẪN:

Ta có: \[1 = {x^2} + {y^2} - xy = {\left( {x + y} \right)^2} - 3xy \ge - 3xy \Rightarrow xy \ge - \frac{1}{3}\]
và \[1 = {x^2} + {y^2} - xy = {\left( {x - y} \right)^2} + xy \ge xy \Rightarrow xy \le 1\]
Đặt $t=xy$ thì $ - \frac{1}{3} \le t \le 1$. Khi đó:
\[P = \frac{{{{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}^2} - 2{x^2}{y^2} + 1}}{{xy + 2}} = \frac{{{{\left( {xy + 1} \right)}^2} - 2{x^2}{y^2} + 1}}{{xy + 2}} = \frac{{ - {x^2}{y^2} + 2xy + 2}}{{xy + 2}}\]
Khảo sát hàm số $f\left( t \right) = \frac{{ - {t^2} + 2t + 1}}{{t + 2}},\,\,t \in \left[ { - \frac{1}{3};1} \right]$ là OK.

---