Xác định mọi hàm số $f: \mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ thỏa mãn: Với mỗi cặp số nguyên $m$ và $n$ (không nhất thiết phải khác nhau) $\mathrm{gcd}(m, n)$ là ước của $f(m) + f(n)$
Chú ý: Nếu $n\in\mathbb{Z}$, $\mathrm{gcd}(m, n)=\mathrm{gcd}(|m|, |n|)$ và $\mathrm{gcd}(n, 0)=n$.
Austrian Mathematical Olympiad 2012
#1
Posted 24-05-2012 - 07:28
Zaraki
-
- Phó Quản lý Toán Cao cấp
-
- 4273 posts
PQT
- barcavodich, lamNMP01 and Hoang72 like this
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#2
Posted 31-07-2013 - 21:55
barcavodich
-
- Thành viên
-
- 449 posts
Sĩ quan
Bạn xem lại đề với
Này nhé nếu $n=-1$,$m=0$
$-1=\gcd (-1,0)=\gcd (|-1|,|0|)=\gcd (1,0)=1\Rightarrow -1=1$ 
[topic2=''][/topic2]Music makes life more meaningful
#3
Posted 09-05-2017 - 01:19
lamNMP01
-
- Thành viên
-
- 96 posts
Hạ sĩ
Hừm em biết là nó khá cũ rồi nhưng thôi kệ.
Thay m,n bới p,1 với p nguyên tố lớn hơn bằng 3 và n=1. Ta có p là ước của f(p)+f(1).
Thay m,n bởi p,p với p nguyên tố lớn hơn bằng 3 . Ts có p là ước của f(p).
Vậy p là ước của f(1).
. Cho p ra dương vô cùng , ta có f(1)=0. Đến đây ta xét thay x,y bởi n,1. Ta có n là ước của f(n). Ta có mọi hàm f(x) như trên đều thoả mãn yêu cầu bài toán
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users
