Chủ đề này có 406 trả lời

[Oral1020]

Tiếp tục topic nhé
Bài 125:

Giải phương trình: $x\sqrt{y-1}+2y\sqrt{x-1}=\dfrac{3}{2}xy$.

Bài 126:

Giải phương trình: $\sqrt{x(x-1)}+\sqrt{x(x+2)}=2\sqrt{x^2}$.

Bài 127:

Giải phương trình: $\sqrt{5-x^6}=\sqrt[3]{3x^4-2}+1$.

Bài 128:

Giải phương trình:$\sqrt{3-x}+\sqrt{x-1}=2+(x-y)^2$.

Spoiler

Bài 124 đã có lời giải tại đây.

Ở trước còn một số bài chưa có lời giải như sau:
a)$\sqrt{x^2-x+1}+\sqrt{x^2+x-1}=x^2-x+2$ (#294)
b)$\sqrt{3x^2-1}+\sqrt{x^2-x}-x\sqrt{x^2+1}=\sqrt{5x^4-x^3+10x^2-2x}$ (#294)
c)$\sqrt[3]{x^2-1}+x=\sqrt{x^3-1}$ (#292)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral1020: 20-05-2013 - 23:00

[Tienanh tx]

 

Bài 126:

Giải phương trình: $\sqrt{x(x-1)}+\sqrt{x(x+2)}=2\sqrt{x^2}$.

 

$\oplus$ Ta có: Điều kiện: $x \ge 1 ;  x \leq -2$
$PT \Longleftrightarrow \dfrac{-3x}{\sqrt{x(x-1)}-\sqrt{x(x+2)}} = 2|x|$

$\oplus$ Với $x \ge 1$, ta có: 

$\left\{\begin{matrix}\sqrt{x(x-1)}-\sqrt{x(x+2)}=-\dfrac{3}{2}& \\ \sqrt{x(x-1)}+\sqrt{x(x+2)}= 2x& \end{matrix}\right.$

Cộng vế theo vế của hệ phương trình trên, ta được: 
$2\sqrt{x(x-2)} = 2x - \dfrac{3}{2}$ Giãi phương trình ta có kết quả là PT Vô nghiệm 

 

$\oplus$ Với $x \leq -2$, ta có: 

$\left\{\begin{matrix}\sqrt{x(x-1)}-\sqrt{x(x+2)}=\dfrac{3}{2}& \\ \sqrt{x(x-1)}+\sqrt{x(x+2)}= -2x& \end{matrix}\right.$

 

Cộng vế theo vế của hệ phương trình trên, ta được: 
$2\sqrt{x(x-2)} = -2x + \dfrac{3}{2}$

Giải phương trình ta có kết quả là $x= \dfrac{9}{8}$

$\oplus$ KL: $x=\dfrac{-9}{8}$ thoả mản phương trình 

--

Oral:Bài của bạn hình như có trục trặc gì rồi,nghiệm là $\dfrac{9}{8}$ và còn sót một nghiệm là $0$ nữa

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tienanh tx: 21-05-2013 - 08:59

[etucgnaohtn]

Tiếp tục topic nhé
Bài 125:

Giải phương trình: $x\sqrt{y-1}+2y\sqrt{x-1}=\dfrac{3}{2}xy$.

ĐK : $x,y \geq 1$

Áp dụng bđt Côsi cho 2 số không âm là 1 và $\sqrt{y-1}$ , ta có : $x\sqrt{y-1}=x.1.\sqrt{y-1}\leq x\frac{1+y-1}{2}=\frac{xy}{2}$ (1)

Tương tự $2y\sqrt{x-1}\leq xy$ (2)

(1) + (2) ta được : $x\sqrt{y-1}+2y\sqrt{x-1}\leq \frac{3}{2}xy$ (3)

Dấu bằng ở (3) xảy ra khi và chỉ khi dấu bằng ở (1) và (2) cùng xảy ra $\Leftrightarrow$ $x=y=2$

Vậy pt đã cho có nghiệm $(x;y)$ là $(2;2)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi etucgnaohtn: 21-05-2013 - 01:07

[etucgnaohtn]

Thượng To Tính :

Bài 128:

Giải phương trình:$\sqrt{3-x}+\sqrt{x-1}=2+(x-y)^2$.(1)

ĐK : $3\geq x\geq 1$

Áp dụng bđt Bunhiacopski , ta có $VT(1)=1.\sqrt{3-x}+1.\sqrt{x-1}\leqslant \sqrt{(1^2+1^2)(3-x+x-1)}=2$ $(2)$

Lại có $VP(1)\geqslant 2$ $(3)$ $($ rõ ràng $)$ 

Từ $(1);(2)$ và$(3)$$\Rightarrow VT(1)=VP(1)=2$

Điều này xảy ra khi và chỉ khi dấu bằng ở $(2)$ và $(3)$ đồng thời xảy ra $\Leftrightarrow$ $x=y=2$ ( thỏa mãn đkxđ )

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $(x;y)$ là $(2;2)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi etucgnaohtn: 21-05-2013 - 01:38

[etucgnaohtn]

Tiếp tục topic nhé

Bài 127:

Giải phương trình: $\sqrt{5-x^6}=\sqrt[3]{3x^4-2}+1$.(1)

Nốt bài rồi đi ngủ !

$(1)\Leftrightarrow \sqrt{5-x^6}-2-(\sqrt[3]{3x^4-2}-1)=0$ 

$\Leftrightarrow \frac{1-x^6}{\sqrt{5-x^6}+2}-\frac{3x^4-3}{\sqrt[3]{(3x^4-2)^2}+\sqrt[3]{3x^4-2}+1}=0$

$\Leftrightarrow (x^2-1)(\frac{(x^2+x+1)(x^2-x+1)}{\sqrt{5-x^6}+2}+\frac{3}{\sqrt[3]{(3x^4-2)^2)}+\sqrt[3]{3x^4-2}+1})=0$

$\Rightarrow x=\pm 1$ 

Biểu thức còn lại trong ngoặc luôn dương $($ rõ ràng $)$

Vậy pt đã cho có nghiệm $x$ là $1;-1$

[etucgnaohtn]

Bài 129:Giải phương trình:

$\sqrt{8x+1}+\sqrt{46-10x}=-x^{3}+5x^{2}+4x+1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi etucgnaohtn: 21-05-2013 - 20:56

[Oral1020]

Bài 129:Giải phương trình:

$\sqrt{8x+1}+\sqrt{46-10x}=-x^{3}+5x^{2}+4x+1$

Bài đó đã được thảo luận tại đây.Nhưng vẫn còn vướng chưa thể chứng minh được nhân tử kia vô nghiệm.Nếu anh(chị) biết cách làm thì post vào đó nhá

Bài 130:

Giải phương trình:$\sqrt{\sqrt{2}-1-x}+\sqrt[4]{x}=\dfrac{1}{\sqrt[4]{2}}$

Bài 131:

Giải phương trình:$x^2-3x+1=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\sqrt{x^4+x^2+1}$

[etucgnaohtn]

 

Bài 131:

Giải phương trình:$x^2-3x+1=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\sqrt{x^4+x^2+1}$

$\Leftrightarrow 2(\sqrt{x^2-x+1}-\frac{\sqrt{3}}{3}\sqrt{x^2+x+1})(\sqrt{x^2-x+1}+\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{x^2+x+1})=0 \Rightarrow x=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi etucgnaohtn: 23-05-2013 - 05:02

[PTKBLYT9C1213]

Bài 132: $\sqrt[6]{6x-5}=\frac{x^{7}}{8x^{2}-10x+3}$

[vietquang1998]

Bài 13: Giải phương trình $x^4+ \sqrt {x^2+3}=3$
Đề chọn HSG Q1, TPHCM 2005-2006

       $x^{4}+\sqrt{x^{2}+3}=3$

<=> $x^{4}=3-\sqrt{x^{2}+3}$

<=> $x^{4}+x^{2}+\frac{1}{4}=x^{2}+3-\sqrt{x^{2}+3}+\frac{1}{4}$

<=> $(x^{2}+\frac{1}{2})^{2}=(\sqrt{x^{2}+3}-\frac{1}{2})^{2}$

<=> $x^{2}+\frac{1}{2}=\sqrt{x^{2}+3}-\frac{1}{2}$ (vì $x^{2}+\frac{1}{2}> 0$ và $\sqrt{x^{2}+3}-\frac{1}{2}> 0$

<=> $x^{2}+1=\sqrt{x^{2}+3}$

<=> $x^{4}+2x^{2}+1=x^{2}+3$

<=> $x^{4}+x^{2}-2=0$

Giải phương trình ta được $x^{2}=1$

                                          => $x_{1}=1$

                                               $x_{2}=-1$

Vậy phương trình có tập nghiệm S={1;-1}

[etucgnaohtn]

       $x^{4}+\sqrt{x^{2}+3}=3$

<=> $x^{4}=3-\sqrt{x^{2}+3}$

<=> $x^{4}+x^{2}+\frac{1}{4}=x^{2}+3-\sqrt{x^{2}+3}+\frac{1}{4}$

<=> $(x^{2}+\frac{1}{2})^{2}=(\sqrt{x^{2}+3}-\frac{1}{2})^{2}$

<=> $x^{2}+\frac{1}{2}=\sqrt{x^{2}+3}-\frac{1}{2}$ (vì $x^{2}+\frac{1}{2}> 0$ và $\sqrt{x^{2}+3}-\frac{1}{2}> 0$

<=> $x^{2}+1=\sqrt{x^{2}+3}$

<=> $x^{4}+2x^{2}+1=x^{2}+3$

<=> $x^{4}+x^{2}-2=0$

Giải phương trình ta được $x^{2}=1$

                                          => $x_{1}=1$

                                               $x_{2}=-1$

Vậy phương trình có tập nghiệm S={1;-1}

Những bài có căn mà muốn viết tổng bình phương chứa căn thì phải có 2$\sqrt{}$ gì đó . Bài này bạn nên nhân 2 vào ngay từ đầu 

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Bài 132: $\sqrt[6]{6x-5}=\frac{x^{7}}{8x^{2}-10x+3}$

 

Giải

ĐK: $\left\{\begin{matrix} x \geq \dfrac{5}{6}& \\8x^2 - 10x + 3 \neq 0 & \end{matrix}\right.$

Nhận thấy:
$VT = \sqrt[6]{6x - 5} \leq \dfrac{1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 6x - 5}{6} = x$

Vì vậy, để phương trình ban đầu có nghiệm thì:

 

$\dfrac{x^7}{8x^2 - 10x + 3} \leq x $

$\Leftrightarrow x^6 - 8x^2 + 10x - 3 \leq 0$

$\Leftrightarrow (x - 1)(x^5 + x^4 + x^3 + x^2 - 7x + 3) \leq 0$

 

$\Leftrightarrow (x - 1)^2(x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 4x - 3) \leq 0 \, (\bigstar)$

 

Nhận thấy:
$x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 4x - 3 = (x^2 + x)^2 + 2(x + 1)^2 - 5 > 0 \, \forall \, x \geq \dfrac{5}{6}$
Vì vậy, $\bigstar$ xảy ra khi và chỉ khi x = 1

Thử lại, ta nhận giá trị này.

Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.

[vietquang1998]

Những bài có căn mà muốn viết tổng bình phương chứa căn thì phải có 2$\sqrt{}$ gì đó . Bài này bạn nên nhân 2 vào ngay từ đầu 

nhân 2 sẽ dễ nhìn hơn thôi bài này tớ chưa nhân 2 thử, nhưng ý muốn của tớ là viết thành hằng đẳng thức $(a+\frac{1}{2})^{2}$ cơ

[ongngua97]

BÀI 7:
Giải phương trình: $\left( {x + 3} \right)\sqrt {2{x^2} + 1} = {x^2} + x + 3$
___

pt $\Leftrightarrow (x+3)(\sqrt{2x^{2}+1}-1)=x^{2}\Leftrightarrow x^{2}(\frac{2(x+3)}{\sqrt{2x^{2}+1}+1}-1)=0\Leftrightarrow x=0\vee 2x+5=\sqrt{2x^{2}+1}\Leftrightarrow x=0\vee \left\{\begin{matrix} 2x+5\geq 0\\(2x+5)^{2}=2x^{2}+1 \\ \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=0\vee x=\sqrt{13}-5$

[einstein627]

chào mọi người đây là bài tập tớ tổng hợp được từ topic.Tuy nhiên do thời gian có hạn nên chưa có lời giải và nhận xét của các anh,chị .Đây cũng là lần đầu tiên tớ làm cái này nên còn cần nhiều chỉnh sửa.Mong mọi người góp ý.

File gửi kèm

•  PT HPT VMF.doc   577.5K   210 Số lần tải

[anhtukhon1]

Em rút ra được các dạng(toàn dễ thôi nên đừng ném gạch nha )

Dạng 1:

VD: $\sqrt{3-x}=3x-5$(bình phương lên)

Dạng 2: 

VD: $x^{2}-2x-7+3\sqrt{(x+1)(x-3)}=0\Leftrightarrow (x+1)(x-3)+3\sqrt{(x+1)(x-3)}-4=0\Leftrightarrow ...$

*Note: Khi biểu thức trong dấu căn giống hệt biểu thức bên ngoài dấu căn thì ta đặt ẩn phụ bằng biểu thức căn đưa về PT bậc 2

Dạng 3:

VD $\sqrt[3]{2-x}+\sqrt{x-1}=1$

Tìm

Đặt $\sqrt{x-1}=T$

PT có dạng

$\sqrt[3]{2-(T^{2}+1)}+T=1\Leftrightarrow \sqrt[3]{1-T^{2}}+T=1\Leftrightarrow \sqrt[3]{1-T}\sqrt[3]{1+T}=(\sqrt[3]{1-T})^{3}\Leftrightarrow ...$

Dạng 4:

VD:$\sqrt{x+15+8\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+15-8\sqrt{x-1}}=7$

Đặt $\sqrt{x-1}=T\Rightarrow T^{2}=x-1$

PT có dạng $\sqrt{T^{2}+8T+16}+\sqrt{T^{2}-8T+16}=7\Leftrightarrow |T+4|+|T-4|=7; VT\geq 8\Rightarrow$ PT vô nghiệm

Dạng 5:Khi PT có dạng không bình phương thì ta dùng phương pháp không quy tắc.

Tồng các số không âm =0 thì tất cả các số đồng thời phải = 0

$a^{2}+b^{2}+c^{2}=0$

khi và chỉ khi a=b=c=0

Dùng BĐT hoặc tam thức bậc 2 CM vế trái $\geq$ vế phải hoặc ngược lại sau đó tìm đk xảy ra dấu =

Dạng 6:(nhân tử chung)

VD $\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{x+2}=1+\sqrt[3]{x^{2}+3x+2}$

Đặt $\sqrt[3]{x+1}=a;\sqrt[3]{x+2}=b$

PT có dạng 

$a+b=1+ab$

Tìm a,b rồi tính

[anhtukhon1]

Dạng 7: 

VD: $\sqrt{x+3}-\sqrt{2x-1}=\sqrt{3x-2}$ 

Bình phương lên : $3x+2-2\sqrt{(x+3)(2x-1)}=3x-2\Leftrightarrow 2\sqrt{(x+3)(2x-1)}=4\Leftrightarrow ...$

Dạng 8 

VD: $\sqrt{2-x}+\sqrt{2+x}+\sqrt{4-x^{2}}=2$. Nhận thấy 2 biểu thức trong căn VT nhân vào = BT trong căn VP ta đặt ẩn phụ

Đặt $T=\sqrt{2-x}+\sqrt{2+x}\Rightarrow T^{2}=4+2\sqrt{4-x^{2}}\Rightarrow \sqrt{4-x^{2}}=\frac{T^{2}-4}{2}$

Thay vào tìm T rồi tìm x

Dạng 9: Dùng HĐT $\sqrt{A}-\sqrt{B}=\frac{A-B}{\sqrt{A}+\sqrt{B}} and \sqrt{A}+\sqrt{B}=\frac{A-B}{\sqrt{A}-\sqrt{B}}$

VD:

$\sqrt{2x^{2}+x+6}+\sqrt{x^{2}+x+2}=4+\frac{4}{x}\Leftrightarrow \frac{x^{2}+4}{\sqrt{2x^{2}+x+6}-\sqrt{x^{2}+x+2}-\frac{1}{x}}=0\Leftrightarrow ...$

Dạng 10: Thêm bớt

VD: $4x^{2}+8x=\sqrt{2x+6}$(cộng 2 vế với $2x+\frac{25}{4}$

PT tương đương $(2x+\frac{5}{2})^{2}=(\sqrt{2x+6}+\frac{1}{2})^{2}\Leftrightarrow ...$

Dạng 11:

VD

$(\sqrt{x+4}-\sqrt{x-2})(1+\sqrt{x^{2}+2x-8})=6$

Đặt $\sqrt{x+4}=a;\sqrt{x-2}=b$

PT tương đương $(a-b)(1+ab)=a^{2}-b^{2}\Leftrightarrow (a-b)(a-1)(b-1)=0\Leftrightarrow ...$

Dạng 12: Dạng $A(x+\sqrt{x+a})+B\sqrt{x^{2}+x+2x\sqrt{x+a}}+C=0$

Đặt $x+\sqrt{x+a}=T\Rightarrow x^{2}+x+a+2x\sqrt{x+a}=T^{2}\Rightarrow x^{2}+x+2x\sqrt{x+a}=T^{2}-a$

Thế vào xong rồi tìm T rồi tìm x

[rainbow99]

Dạng 7: 

VD: $\sqrt{x+3}-\sqrt{2x-1}=\sqrt{3x-2}$ 

Bình phương lên : $3x+2-2\sqrt{(x+3)(2x-1)}=3x-2\Leftrightarrow 2\sqrt{(x+3)(2x-1)}=4\Leftrightarrow ...$

Chỗ này không bình phương được do cả hai vế chưa chắc đã âm

nên có thêm lưu ý là phải thử lại

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi rainbow99: 20-08-2015 - 21:39

[anhtukhon1]

Chỗ này không bình phương được do cả hai vế chưa chắc đã âm

cả 2 vế lớn hơn hoặc = 0 mà chị

[an1907]

$Giải phương trình : \sqrt{2 - x^{2}} + \sqrt{2 - \frac{1}{x^{2}}} = 4 - \left ( x + \frac{1}{x} \right )$