Chủ đề này có 406 trả lời

[MyLoVeForYouNMT]

Bài 8:
Giải phương trình $\sqrt{4y^2+x}-\sqrt{4y-x}+\sqrt{x^2+2}=0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 24-05-2012 - 18:51

[MyLoVeForYouNMT]

BÀI 7:
Giải phương trình: $\left( {x + 3} \right)\sqrt {2{x^2} + 1} = {x^2} + x + 3$
___

Đặt $x+3=a; x^2=b$ khi đó phương trình trở thành:
$a\sqrt{2b+1}=a+b$
$\Leftrightarrow a^2(2b+1)=a^2+2ab+b^2$
$\Leftrightarrow b( - b - 2a + 2{a^2}) = 0$
$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{b = 0} \\
{2{a^2} - 2a - b = 0} \\
\end{array}} \right.$
1) $b^2=0$ hay $x^2=0 \Leftrightarrow x=0$
2) $2a^2-2a-b=0$ hay $x^2+10x+12=0$ $\Leftrightarrow \sqrt{13}-5$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 24-05-2012 - 19:19

[NLT]

BÀI 7:
Giải phương trình: $\left( {x + 3} \right)\sqrt {2{x^2} + 1} = {x^2} + x + 3$
___

OTHER SOLUTION:

ĐK:$x \ge - 3$

Nhận thấy $x=-3$ không là nghiệm của phương trình nên ta suy ra $x+3 \ge 0$

Từ giả thiết suy ra:$\sqrt {2{x^2} + 1} = \frac{{{x^2} + x + 3}}{{x + 3}}$

$ \Leftrightarrow \sqrt {2{x^2} + 1} - 1 = \frac{{{x^2}}}{{x + 3}}$

$\left( {\sqrt {2{x^2} + 1} - 1} \right)\left( {\sqrt {2{x^2} + 1} + 1} \right) = \frac{{{x^2}}}{{x + 3}}.\left( {\sqrt {2{x^2} + 1} + 1} \right)$

$2{x^2} = \frac{{{x^2}}}{{x + 3}}.\left( {\sqrt {2{x^2} + 1} + 1} \right)$

Nhận thấy $x=0$ là 1 nghiệm của phương trình.

Với x khác 0, ta suy ra:

$2 = \frac{1}{{x + 3}}.\left( {\sqrt {2{x^2} + 1} + 1} \right) \Leftrightarrow 2x + 5 = \sqrt {2{x^2} + 1} $

Dễ dàng giải được pt trên ra nghiệm là: $\left[ \begin{array}{l}
x = - 5 + \sqrt {13} \left( {True} \right) \\
x = - 5 - \sqrt {13} \left( {False} \right) \\
\end{array} \right.$

Vậy tập nghiệm của phương trình là : $\boxed{S = 0; - 5 + \sqrt {13}}$

Bài toán kết thúc ....
___

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 24-05-2012 - 19:23

[nthoangcute]

Giờ mới biết trang này:
____________________________________________________

BÀI 7:
Giải phương trình: $\left( {x + 3} \right)\sqrt {2{x^2} + 1} = {x^2} + x + 3$
___

Cách giải thứ 3:
Ta có: ĐKXĐ: $x \in R$
$\left( {x + 3} \right)\sqrt {2{x^2} + 1} = {x^2} + x + 3$
Vì ${x^2} + x + 3>0$ và $\sqrt {2{x^2} + 1}>0$ suy ra $x+3>0$
Vậy: $\left( {x + 3} \right)\sqrt {2{x^2} + 1} = {x^2} + x + 3$
$\Leftrightarrow (x+3)^2(x^2+1)=(x^2+x+3)^2$
$\Leftrightarrow 2x^4+19x^2+12x^3+6x+9 = x^4+2x^3+7x^2+6x+9$
$\Leftrightarrow x^2(x^2+12+10x)=0$
$\Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=-5+\sqrt{13}$ hoặc $x=-5-\sqrt{13}$
Kết hợp với ĐK: $x>-3$ ta có $x=0$ hoặc $x=-5+\sqrt{13}$
Thử lại thấy thỏa mãn
Vậy ta có nghiệm của PT là $x \in ${$0,-5+ \sqrt{13}$}
__________________________________________________
Nói thêm về bài của Thịnh:
ĐKXĐ của cậu là sai. ĐKXĐ chỉ là cái điều kiện của $x$ để biểu thức có nghĩa
Muốn nói $x \geq -3$ thì cậu nên chứng minh lại nó, hoặc là ghi nó là: "$ĐK: x \geq -3$"

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 24-05-2012 - 19:16

[L Lawliet]

Bài 5
Điều kiện $x$ không âm
$3x^2+ 12x\sqrt{x^2+1}+7=0$
$\Rightarrow 3x^2+7=12x\sqrt{x^2+1}$

Dương chuyển vế mà không đổi dấu à em?
Bài 9: Giải phương trình:
$$x+\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}=2\sqrt{2}$$
P/s: Mỗi lần post post 1 bài thôi đừng post nhiều giải không hết lại bỏ sót.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 24-05-2012 - 19:45

[nthoangcute]

Dương chuyển vế mà không đổi dấu à em?
Bài 9: Giải phương trình:
$$x+\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}=2\sqrt{2}$$
P/s: Mỗi lần post post 1 bài thôi đừng post nhiều giải không hết lại bỏ sót.

Cách dài:
ĐKXĐ: $-1 < x < 1$
Ta có:
$x+\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}=2\sqrt{2}$
$\Leftrightarrow x(1+\frac{1}{\sqrt{x^2-1}})=2\sqrt{2}$
$\Rightarrow x^2(1+\frac{1}{\sqrt{x^2-1}})^2=8$ (1)
Đặt $\sqrt{x^2-1}=a (a > 0)$
Suy ra $x^2=a^2+1$
Vậy ta có:
$(1) \Leftrightarrow (a^2+1)(1+\frac{1}{a})=8$
$\Leftrightarrow (a^2+1)(a+1)^2=8a$
$\Leftrightarrow (a^2+4a+1)(a-1)^2=0$
$\Leftrightarrow a=1$ (Vì $a>0$ nên $a^2+4a+1>0$)
Suy ra $x=\sqrt{2}$
Thử lại thấy thỏa mãn
Vậy $x=\sqrt{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 24-05-2012 - 19:54

[T M]

Bài 9: Giải phương trình:
$$x+\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}=2\sqrt{2}$$

Lời giải:

ĐKXĐ: $x>1$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho vế trái ta được

$x+\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}\geq2\sqrt{\frac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}}$

Mặt khác, lại nhận thấy rằng

$\sqrt{\frac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}}\geq\sqrt{2}(\Leftrightarrow (\sqrt{x^2-1}-1)^2 \geq 0)$

Nên $VT \geq VP $. Dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $x=\sqrt{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dung Dang Do: 16-06-2012 - 08:02

[L Lawliet]

Tiếp tục:
Bài 10: Giải phương trình:
$$x\sqrt{10-x^2}-x^2+6=0$$
P/s: Chém nhiệt tình nào, bài tập về phương trình vô tỉ mình sưu tầm được nhiều lắm

[tieulyly1995]

Bài 11 :
Giải PT : $2(x^{2}+2)= 5\sqrt{x^{3}+1}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 24-05-2012 - 20:26

[Dung Dang Do]

Bài 12: Giải pt$\sqrt[8]{1-x}+\sqrt[8]{1+x}+\sqrt[8]{1-x^2}=3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98ka: 24-05-2012 - 20:31

[MyLoVeForYouNMT]

Bài 12: Giải pt$\sqrt[8]{1-x}+\sqrt[8]{1+x}+\sqrt[8]{1-x^2}=3$

Đặt $\sqrt[8]{1-x}=a; \sqrt[8]{1+x}=b$
Ta có hệ phương trình
$\left\{\begin{matrix} a+b+ab=3 & \\ a^8+b^8=2 & \end{matrix}\right.$
Giải hệ trên ta được a=1, b=1
từ đó suy ra x=0
_____________
Dũng Dang Dở: Thiếu điều kiện xác định

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dung Dang Do: 24-05-2012 - 21:16

[Mai Duc Khai]

Bài 12: Giải pt$\sqrt[8]{1-x}+\sqrt[8]{1+x}+\sqrt[8]{1-x^2}=3$

Tóm tắt:
Đặt: $1-x=a$ và $1+x=b$: Ta có $a+b=2$ và pt : $\Leftrightarrow \sqrt[8]{a} + \sqrt[8]{b} + \sqrt[8]{{ab}} = 3$
Tới đây áp dụng BĐT cô-si dạng:
$\sqrt {xy} \le \frac{{x + y}}{2}$ Ta cm được VT=VP

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=1 \Leftrightarrow x=0$

[NLT]

Bài 11 :
Giải PT : $2(x^{2}+2)= 5\sqrt{x^{3}+1}$

SOLUTION:
ĐK: $x > - 1$
Đặt $a = x + 1\left( {a > 0} \right);b = {x^2} - x + 1\left( {b > 0} \right)$
$ \Rightarrow {x^2} + 2 = a + b;\sqrt {{x^3} + 1} = \sqrt {ab}$
Do đó, phương trình đã cho tương đương:
$\begin{array}{l}
2\left( {a + b} \right) = 5\sqrt {ab} \\
\Leftrightarrow \left( {2\sqrt a - \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a - 2\sqrt b } \right) = 0 \\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2\sqrt a = \sqrt b \\
\sqrt a = 2\sqrt b \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
4a = b \\
a = 4b \\
\end{array} \right. \\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
4\left( {x + 1} \right) = {x^2} - x + 1 \\
x + 1 = 4\left( {{x^2} - x + 1} \right) \\
\end{array} \right. \\
\end{array}$
Dễ dàng tìm được $x$ và so sánh với điều kiện, ta được kết quả:
\[\boxed{x = \frac{{5 \pm \sqrt {37} }}{2}}\]
Bài toán kết thúc ...
___

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 24-05-2012 - 21:58

[Ispectorgadget]

Bài 13: Giải phương trình $x^4+ \sqrt {x^2+3}=3$
Đề chọn HSG Q1, TPHCM 2005-2006
Bài 14: Giải phương trình
$\sqrt[3]{3x+4}=x^3+3x^2+x-2$
Toán học Tuổi trẻ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 24-05-2012 - 20:56

[Mai Duc Khai]

Bài 11 :
Giải PT : $2(x^{2}+2)= 5\sqrt{x^{3}+1}$

Bài này cũng chưa có ai trả lời này

Lời giải:

Đặt $\sqrt {x + 1} = a \ge 0;\sqrt {{x^2} - x + 1} = b \ge 0$.

Thì pt: $\Leftrightarrow 5ab = 2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) \Leftrightarrow \left( {2a - b} \right)\left( {a - 2b} \right) = 0$

Tới đây thì xét:
$\left[ \begin{array}{l}
2a - b = 0\\
a - 2b = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2a = b\\
a = 2b
\end{array} \right.$
Thay lại ta tìm được: $x = \frac{{5 \pm \sqrt {37} }}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi maikhaiok: 24-05-2012 - 20:46

[NLT]

Bài 13: Giải phương trình $x^4+ \sqrt {x^2+3}=3$
Đề chọn HSG Q1, TPHCM 2005-2006

SOLUTION:
Đặt$y = {x^2}\left( {y \ge 0} \right)$
$\begin{array}{l}
\Rightarrow {y^2} + \sqrt {y + 3} = 3 \\
\Leftrightarrow \left( {{y^2} - 1} \right) + \left( {\sqrt {y + 3} - 2} \right) = 0 \\
\Leftrightarrow \left( {y - 1} \right)\left( {y + 1} \right) + \frac{{y - 1}}{{\sqrt {y + 3} + 2}} = 0 \\
\Leftrightarrow \left( {y - 1} \right)\left[ {\left( {y + 1} \right) + \frac{1}{{\sqrt {y + 3} + 2}}} \right] = 0 \\
\end{array}$
Dễ thấy${\left( {y + 1} \right) + \frac{1}{{\sqrt {y + 3} + 2}}}$ > 0
Nên $y=1$ suy ra $x = \pm 1$
Vậy pt có 2 nghiệm: $\boxed {x = \pm 1}$
Bài toán kết thúc...
___

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 24-05-2012 - 20:55

[Ispectorgadget]

Bài 13: Giải phương trình $x^4+ \sqrt {x^2+3}=3$
Đề chọn HSG Q1, TPHCM 2005-2006

Bài này có thể giải như sau

• Xét $x^2>1$ ta có $x^4+\sqrt {x^2+3}>1+\sqrt{1+3}=3$
• Xét $x^2<1$ ta có $x^4+\sqrt{x^2+3}<1+\sqrt{1+3}=3$
• Xét $x^2=1$, ta có $x^2+\sqrt{x^2+=3}=3$ Đúng

Từ đó suy ra phương trình có hai nghiệm là $1$ và $-1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 24-05-2012 - 21:04

[L Lawliet]

Bài 13: Giải phương trình $x^4+ \sqrt {x^2+3}=3$
Đề chọn HSG Q1, TPHCM 2005-2006

Cách giải khác (bài này mới vừa làm xong )
Để đơn giản ta có thể đặt $a=x^{2}$, $a$ không âmkhi đó phương trình trở thành:
$$a^2+\sqrt{a+3}=3\Leftrightarrow a^2-(a+3)+(a+\sqrt{a+3})=0\Leftrightarrow (a+\sqrt{a+3})(a-\sqrt{1+3}+1)=0$$
Cái này đơn giản rồi nhỉ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 13-08-2012 - 10:59

[Mai Duc Khai]

Bài 15:
Giải phương trình: $\sqrt {2{x^2} - 9x + 4} + 3\sqrt {2x - 1} = \sqrt {2{x^2} + 21x - 11}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 25-05-2012 - 13:04

[tieulyly1995]

Bài 16 :
Giải HPT : $\left\{\begin{matrix} \sqrt{\frac{20y}{x}}= \sqrt{x+y}+\sqrt{x-y}\\ \sqrt{\frac{16x}{5y}}= \sqrt{x+y}-\sqrt{x-y} \end{matrix}\right.$
Bài 17 :
Giải PT: $(4x-1)\sqrt{x^{2}+1}= 2x^{2}+2x+1$