Chủ đề này có 406 trả lời

[MyLoVeForYouNMT]

Bài 46: Giải phương trình sau $2(x^2-3x+2)=3\sqrt{x^3+8}$

Giải:
$PT\Leftrightarrow 2(x^2-3x+2)=3\sqrt{(x+2)(x^2-2x+4)}$
Đặt $a=x+2; b=x^2-2x+4$
PT trở thành
$2(b-a)=3\sqrt{ab}$
$\Rightarrow4b^2-8ab+4a^2=9ab$
$\Leftrightarrow 4b^2-17ab+4a^2=0$
$\Leftrightarrow b=4a$ hoặc $b=\frac{a}{4}$
+Với $b=4a$ ta có: $x^2-2x+4=4x+8$
$\Leftrightarrow x^2-6x-4=0$
$\Leftrightarrow x=3-\sqrt{13}; x=3+\sqrt{13}$
+Với $b=\frac{a}{4}$ ta có: $4a^2-8x+16=x+2$
$4a^2-9x+14=0$ (PT vô nghiệm)
Vậy nghiệm phương trình là $x=3-\sqrt{13}; x=3+\sqrt{13}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MyLoVeForYouNMT: 26-05-2012 - 19:43

[hamdvk]

Bài 44: Giải phương trình$\sqrt{x-1}+\sqrt{x^3+x^2+x+1}=1+\sqrt{x^4-1}$

(ĐK $x\geq 1$ )
Đặt $\sqrt{x-1}=a\geq 0$ và $\sqrt{x^{3}+x^{2}+x+1}=b>1(do $x\geq 1$)$
$\Rightarrow \sqrt{x^{4}-1}=\sqrt{x^{3}+x^{2}+x+1}.\sqrt{x-1}=b.a\geq 0$
phương trình trở thành
a+b = 1+ab
$\Leftrightarrow (a-1)(b-1)=0$
$\Leftrightarrow a-1=0\Leftrightarrow a=1$ (do b>1 nên b-1>0 )
$\Leftrightarrow \sqrt{x-1}=1\Leftrightarrow x=2$
(thoả mãn )
vậy .....

[NLT]

Chú ý: Không post quá nhiều bài một lúc $\to$ Không giải hết $\to$ Loãng topic .
Hiện tại còn bài 41, 43 chưa được giải.
___

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 26-05-2012 - 20:51

[hamdvk]

Bài 47: Giải phương trình sau $\sqrt{\frac{5\sqrt{2}+7}{x+1}}+4x=3\sqrt{2}-1$

( Đk $x>-1$ )
Áp dụng BĐT cô si cho ba số dương ta có
VT+4 $\frac{1}{2}.\sqrt{\frac{5\sqrt{2}+7}{x+1}}+\frac{1}{2}.\sqrt{\frac{5\sqrt{2}+7}{x+1}}+4(x+1)$
$\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{2}.\sqrt{\frac{5\sqrt{2}+7}{x+1}}.\frac{1}{2}.\sqrt{\frac{5\sqrt{2}+7}{x+1}}.4(x+1)}$
$\geq 3\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}=3\sqrt[3]{(1+\sqrt{2})^{3}}=3\sqrt{2}+3$=VP+4
$\Leftrightarrow VT\geq VP$
Dấu = xảy ra khi $\frac{1}{2}.\sqrt{\frac{5\sqrt{2}+7}{x+1}}=4(x+1)>0$
$\Leftrightarrow 8(x+1)^{3}=5\sqrt{2}+7=(\sqrt{2}+1)^{3}$
$\Leftrightarrow 2x+2=\sqrt{2}+1$
$\Leftrightarrow x=\frac{\sqrt{2}-1}{2}$ (thoả mãn)
Vậy......

[T M]

Bài 47: Giải phương trình sau $\sqrt{\frac{5\sqrt{2}+7}{x+1}}+4x=3\sqrt{2}-1$

Lời giải khác

ĐKXĐ:.....

$PT\Leftrightarrow \sqrt{\frac{(\sqrt{2}+1)^3}{x+1}}+4x=3\sqrt{2}-1$

Biến đổi một chút, ta được phương trình mới có dạng

$\sqrt{\frac{(\sqrt{2}+1)^3}{x+1}}=3(\sqrt{2}+1)-4(x+1)$

Đặt $\left\{\begin{matrix} \sqrt{\sqrt{2}+1}=a(a>0) & & \\ \sqrt{x+1}=b(b\geq0) & & \end{matrix}\right.$

Phương trình được viết lại thành $\frac{a^3}{b}+4b^2=3a^2\Leftrightarrow \frac{a^3}{2b}+\frac{a^3}{2b}+4b^2=3a^2$

Theo bất đẳng thức Cauchy (áp dụng trực tiếp cho 3 số vế trái)

Nhận thấy, $VT \geq VP$. Dấu bằng xảy ra $x=\frac{\sqrt{2}-3}{4}$

Vậy $\fbox{$x=\frac{\sqrt{2}-3}{4}$}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi luxubuhl: 26-05-2012 - 21:00

[solitarycloud2612]

Bài 48: Giải phương trình:
\[2{x^2} + \sqrt[3]{{2{x^4} - {x^2}}} = - 2x + 1\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 26-05-2012 - 21:26

[NLT]

Bài 43: Tìm nghiệm dương của phương trình $2x+\frac{x-1}{x}=\sqrt{1-\frac{1}{x}}+3\sqrt{x-\frac{1}{x}}$ (*)

SOLUTION (by Nguyen Lam Thinh & huynhmylinh ):
Điều kiện:$\left\{\begin{matrix} x>0 &\\ \frac{x-1}{x}\geq 0 &\\ (x+1)(\frac{x-1}{x}) \geq 0& \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x\geq 1$
$(*)\Leftrightarrow 2x+\frac{x-1}{x}-\sqrt{\frac{x-1}{x}}-3\sqrt{\frac{x-1}{x}(x+1)}=0(**)$
Đặt $u=\sqrt{\frac{x-1}{x}}$, khi đó:
$(**)\Leftrightarrow u^2-u-3\sqrt{x+1}.u+2x=0$
Phương trình này có $\bigtriangleup =(1+3\sqrt{x+1})^2-8x=(\sqrt{x+1}+3)^2$
$\Rightarrow\left[ \begin{array}{l}u=2(\sqrt{x+1}+1)\\ u=\sqrt{x+1}-1\\ \end{array}\right.$
Do $u=\sqrt{\frac{x-1}{x}}=\sqrt{1-\frac{1}{x}}< 1$ (Vì $x\geq 1$)
nên $u=2(\sqrt{x+1}-1)$ loại.
Vì vậy $u=\sqrt{x+1}-1\Leftrightarrow \sqrt{\frac{x-1}{x}}=\sqrt{x+1}-1\Leftrightarrow (x-\sqrt{x+1})^2=0$
$\Leftrightarrow x=\sqrt{x+1}\Leftrightarrow x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ (Vì $x\geq 1$)
Vậy $\boxed {x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}}$
___
Trích từ: http://diendantoanho...showtopic=72689
___

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 26-05-2012 - 21:37

[nthoangcute]

Bài 48: Giải pt
\[2{x^2} + \sqrt[3]{{2{x^4} - {x^2}}} = - 2x + 1\]

Bài này chắc phải có nhiều cách làm. Từ từ suy nghĩ đã:
Cách 1:

\[2{x^2} + \sqrt[3]{{2{x^4} - {x^2}}} = - 2x + 1\]

$$ \Leftrightarrow \sqrt[3]{{2{x^4} - {x^2}}} =-2x^2-2x+1$$

$$ \Leftrightarrow 2{x^4} - {x^2}=(-2x^2-2x+1)^3$$

$$ \Leftrightarrow 8x^6+24x^5+14x^4-16x^3-7x^2+6x-1=0$$

$$ \Leftrightarrow (2x-1)(x+1)(4x^4+10x^3+4x^2-5x+1)=0$$

$ \Leftrightarrow x=\frac{1}{2}$ hoặc $x=-1$ hoặc $4x^4+10x^3+4x^2-5x+1=0$
Xét PT:

$$4x^4+10x^3+4x^2-5x+1=0$$

$$\Leftrightarrow (2x^2+\frac{5}{2}x-1)^2+\frac{7x^2}{4}=0$$

(Áp dụng S.O.S dễ dàng tìm ra được)

Từ đây suy ra $x=0$, thay vào thấy vô lý

Vậy $x=\frac{1}{2}$ hoặc $x=-1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 26-05-2012 - 21:50

[hoangtrong2305]

Bài 48: Giải phương trình:
\[2{x^2} + \sqrt[3]{{2{x^4} - {x^2}}} = - 2x + 1\]

$2x^{2}+\sqrt[3]{2x^{4}-x^{2}}=-2x+1$
Nhận thấy giá trị $x=0$ không là nghiệm của phương trình nên ta làm như sau:
$2x^{2}+\sqrt[3]{2x^{4}-x^{2}}=-2x+1$
$\Leftrightarrow 2x^{2}+\sqrt[3]{x^{3}.(2x-\frac{1}{x})}=-2x+1$
$\Leftrightarrow 2x^{2}+x\sqrt[3]{(2x-\frac{1}{x})}=-2x+1$
$\Leftrightarrow 2x+\sqrt[3]{2x-\frac{1}{x}}=-2+\frac{1}{x}$
$\Leftrightarrow 2x-\frac{1}{x}+\sqrt[3]{2x-\frac{1}{x}}+2=0$
Đặt $t=\sqrt[3]{2x-\frac{1}{x}}$, phương trình thành:
$t^{3}+t+2=0$
$\Leftrightarrow t=-1$
$\Rightarrow \sqrt[3]{2x-\frac{1}{x}}=-1$
$\Leftrightarrow 2x-\frac{1}{x}=-1$
$\Leftrightarrow 2x^{2}+x-1=0$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=\frac{1}{2}\\ x=-1 \end{bmatrix}$
KẾT LUẬN: Phương trình có $2$ nghiệm
$\boxed{\begin{bmatrix} x=\frac{1}{2}\\ x=-1 \end{bmatrix}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 26-05-2012 - 22:16

[Dung Dang Do]

Bài 49: Giải pt
$$2x^2-5x+2=4\sqrt{2(x^3-21x-20)}$$

[T M]

Bài 49: Giải pt
$$2x^2-5x+2=4\sqrt{2(x^3-21x-20)}$$

Lời giải:

ĐKXĐ: các biểu thức dưới căn không âm.

$PT\Leftrightarrow 2x^2-5x+2=4\sqrt{2(x-5)(x+1)(x+4)}$

$\Leftrightarrow 2x^2-5x+2=4\sqrt{2}\sqrt{(x^2-4x-5)(x+4)}$

$\Leftrightarrow 2(x^2-4x-5)+3(x+4)=4\sqrt{2}\sqrt{(x^2-4x-5)(x+4)}$

Đặt $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x^2-4x-5}=a(a\geq0) & & \\\sqrt{x+4}=b(b\geq0) & & \end{matrix}\right.$

Phương trình trở thành $2a^2+3b^2-4\sqrt{2}ab=0$

$\Leftrightarrow a=\frac{1}{\sqrt{2}}.b\vee a=\frac{3}{\sqrt{2}}.b$

Trường hợp 1:

$a=\frac{1}{\sqrt{2}}.b \Rightarrow \sqrt{x^2-4x-5}=\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{x+4}$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x+4\geq0 & & \\ x^2-4x-5=\frac{1}{2}(x+4) & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}(9+\sqrt{193})\vee x=\frac{1}{4}(9-\sqrt{193})(True)$

Trường hợp 2:

$a=\frac{3}{\sqrt{2}}.b \Rightarrow \sqrt{x^2-4x-5}=\frac{3}{\sqrt{2}}\sqrt{x+4}$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x+4\geq0 & & \\ x^2-4x-5=\frac{9}{2}(x+4)& &\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}(17+3\sqrt{73})\vee x=\frac{1}{4}(17-3\sqrt{73})(True)$

Vậy $\fbox{$S=\frac{1}{4}(17-3\sqrt{73});\frac{1}{4}(17+3\sqrt{73});\frac{1}{4}(9-\sqrt{193});\frac{1}{4}(9+\sqrt{193})$}$

P/S: Cái dấu hệ hoặc viết thế nào ấy nhỉ toàn phải viết $\vee$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi luxubuhl: 27-05-2012 - 13:31

[NLT]

Bài 50:
Giải hệ phương trình:
$\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {x + y} = \sqrt[3]{{x + y}} \\
\sqrt {x - y} = \sqrt[3]{{x - y - 12}} \\
\end{array} \right.$
___

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 27-05-2012 - 18:52

[NLT]

Bài 51:
Giải phương trình:$4\sqrt {\frac{{{x^2}}}{3} + 4} = 1 + \frac{{3x}}{2} + \sqrt {6x}$
___

[T M]

Bài 50:
Giải hệ phương trình:
$\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {x + y} = \sqrt[3]{{x + y}}(1) \\
\sqrt {x - y} = \sqrt[3]{{x - y - 12}}(1) \\
\end{array} \right.$
___

Đặt $\sqrt[6]{x+y}=a(a\geq0)$

$(1)\Leftrightarrow a^3=a^2\Leftrightarrow a^2(a-1)=0\Leftrightarrow a=0\vee a=1(True)$

Trường hợp 1: $a=1$

$x+y=1\Rightarrow x=1-y$. Thế vào $(2)$ ta được

$\sqrt{1-2y}=\sqrt[3]{1-2y-12}\Rightarrow (1-2y)^3=(1-2y-12)^2\Leftrightarrow 1-2y=4$

$\Leftrightarrow y=\frac{-3}{2}\Rightarrow x=1+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}(False)$

Trường hợp 2: $a=0$

$x+y=0\Rightarrow x=-y$. Thế vào (2) ta được

$\sqrt{-2y}=\sqrt[3]{-2y-12}\Rightarrow -8y^3=4y^2+48y+144\Leftrightarrow -4(y+2)(2y^2-3y+18)=0$

$\Leftrightarrow y=-2\Rightarrow x=2(False)$

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi luxubuhl: 27-05-2012 - 20:00

[T M]

Bài 52: Giải phương trình sau $x^2+2x+2=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{x}{4}-\frac{3}{4}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 28-05-2012 - 12:39

[nthoangcute]

Bài 52: Giải phương trình sau $x^2+2x+2=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{x}{4}-\frac{3}{4}}$

Thử giải:
$$x^2+2x+2=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{x}{4}-\frac{3}{4}}$$
Đặt:
$$a=\sqrt{\frac{x}{4}-\frac{3}{4}} (a \geq 0)$$
Suy ra:
$$x=4a^2+3$$
Vậy từ giả thiết ta có:
$$x^2+2x+2=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{x}{4}-\frac{3}{4}}$$
$$\Leftrightarrow (4a^2+3)^2+2(4a^2+3)+2=\frac{1}{4}a$$
$$\Leftrightarrow 16a^4+32a^2+17=\frac{1}{4}a$$
$$\Leftrightarrow (4a^2-a+4)(16a^2+4a+17)=0$$
Ta lại thấy $4a^2-a+4>0$ và $16a^2+4a+17>0$ với mọi $a$
Nên phương trình đã cho không có nghiệm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 28-05-2012 - 12:40

[nthoangcute]

Bài 51:
Giải phương trình:$4\sqrt {\frac{{{x^2}}}{3} + 4} = 1 + \frac{{3x}}{2} + \sqrt {6x}$
___

Thử giải:
ĐKXĐ: $x \geq 0$
$$4\sqrt {\frac{{{x^2}}}{3} + 4} = 1 + \frac{{3x}}{2} + \sqrt {6x}$$
$$\Leftrightarrow 4\sqrt {\frac{{{x^2}}}{3} + 4}- \sqrt {6x} = 1 + \frac{{3x}}{2}$$
$$\Rightarrow (4\sqrt {\frac{{{x^2}}}{3} + 4}- \sqrt {6x})^2 = (1 + \frac{{3x}}{2})^2$$
$$\Leftrightarrow \frac{16}{3}x^2+64-\frac{8}{3} \sqrt{6x(3x^2+36)}+6x=1+3x+\frac{9}{4}x^2$$
$$\Leftrightarrow \sqrt{6x(3x^2+36)}=\frac{37}{32}x^2+\frac{189}{8}+\frac{9}{8}x$$
$$\Rightarrow 6x(3x^2+36)=(\frac{37}{32}x^2+\frac{189}{8}+\frac{9}{8}x)^2$$
$$\Leftrightarrow 6x(3x^2+36)={\frac {1369}{1024}}\,{x}^{4}+{\frac {7155}{128}}\,{x}^{2}+{\frac {333
}{128}}\,{x}^{3}+{\frac {35721}{64}}+{\frac {1701}{32}}\,x$$
$$\Leftrightarrow {\frac {1369}{1024}}\,{x}^{4}+{\frac {7155}{128}}\,{x}^{2}-{\frac {
1971}{128}}\,{x}^{3}+{\frac {35721}{64}}-{\frac {5211}{32}}\,x=0$$
$$\Leftrightarrow {\frac {1}{1024}}\, \left( 1369\,{x}^{2}+660\,x+15876 \right) \left(
x-6 \right) ^{2}=0$$
$$\Leftrightarrow x=6$$
Thử lại thấy thỏa mãn
Vậy phương trình đã cho chỉ có một nghiệm $x=6$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 28-05-2012 - 12:32

[T M]

Bài 53: Giải phương trình sau $\sqrt[3]{2x-1}=x\sqrt[3]{16}-\sqrt[3]{2x+1}$

[nthoangcute]

Bài 53: Giải phương trình sau $\sqrt[3]{2x-1}=x\sqrt[3]{16}-\sqrt[3]{2x+1}$

Thử giải:
$$\sqrt[3]{2x-1}=x\sqrt[3]{16}-\sqrt[3]{2x+1}$$
$$\Leftrightarrow \sqrt[3]{2x-1}+\sqrt[3]{2x+1}=x\sqrt[3]{16}$$
$$\Leftrightarrow (\sqrt[3]{2x-1}+\sqrt[3]{2x+1})^3=(x\sqrt[3]{16})^3$$
$$\Leftrightarrow 4x+(\sqrt[3]{2x-1}+\sqrt[3]{2x+1})\sqrt[3]{4x^2-1}=16x^3$$
$$\Rightarrow x\sqrt[3]{16}.\sqrt[3]{4x^2-1}=16x^3-4x$$
$$\Leftrightarrow x(\sqrt[3]{16}.\sqrt[3]{4x^2-1}-16x^2+4)=0$$
Xét $x=0$ thì thỏa mãn
Xét
$$\sqrt[3]{16}.\sqrt[3]{4x^2-1}-16x^2+4=0$$
$$\Leftrightarrow \sqrt[3]{16(4x^2-1)}=16x^2-4$$
$$\Leftrightarrow 16(4x^2-1)=(16x^2-4)^3$$
$$\Leftrightarrow -16(2x-1)(2x+1)(8x^2-3)(8x^2-1)=0$$
Từ đây ta tìm được $x=\pm \frac{1}{2}$ hoặc $x=\pm \frac{\sqrt{2}}{4}$ hoặc $x=\pm \frac{\sqrt{6}}{4}$
Thử lại ta thấy $x=\frac{1}{2}$ thỏa mãn đề bài
Vậy PT đã cho có nghiệm $x=0$ hoặc $x=\frac{1}{2}$
___________________________________________
P\s: Bạn có nhận xét gì về lời giải trên, liệu nó có đúng hay là sai, cùng thảo luận nhé !!!

[T M]

Thử giải:
$$\sqrt[3]{2x-1}=x\sqrt[3]{16}-\sqrt[3]{2x+1}$$
$$\Leftrightarrow \sqrt[3]{2x-1}+\sqrt[3]{2x+1}=x\sqrt[3]{16}$$
$$\Leftrightarrow (\sqrt[3]{2x-1}+\sqrt[3]{2x+1})^3=(x\sqrt[3]{16})^3$$
$$\Leftrightarrow 4x+(\sqrt[3]{2x-1}+\sqrt[3]{2x+1})\sqrt[3]{4x^2-1}=16x^3$$
$$\Rightarrow x\sqrt[3]{16}.\sqrt[3]{4x^2-1}=16x^3-4x$$

___________________________________________
P\s: Bạn có nhận xét gì về lời giải trên, liệu nó có đúng hay là sai, cùng thảo luận nhé !!!

Nhận xét 1: Theo mình thì cơ bản là lời giải của bạn đúng hướng, nhưng hình như nhầm trong tính toán thì phải

Nhận xét 2: Từ phần này, để không đưa bậc của phương trình lên quá cao, ta có nhận xét sau:

Nhận thấy, $x=0;\pm \frac{1}{2}$ là nghiệm (sao bạn lại bỏ nghiêm $x=-\frac{1}{2}$ nhỉ?).

Xét $x\neq \pm \frac{1}{2};0$

Phương trình trở thành $3\sqrt[3]{16}=4\sqrt[3]{(4x^2-1)^2}\Leftrightarrow (4x^2-1)^2=\frac{27}{4}\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{\frac{2+3\sqrt{3}}{8}}$

Thử lại thấy đúng. Vậy ........

P/S: cái bước thế ở trên, chỉ cho phương trình hệ quả, ra nghiệm phải thử lại . Lần đầu mình làm bài này đã ngộ nhận chỗ đấy

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi luxubuhl: 28-05-2012 - 15:04