Chủ đề này có 406 trả lời

[T M]

Bài 54: Giải phương trình sau $\sqrt{5x+4}-x-3=(6x+7)^2$

[Math Is Love]

Anh xin phép mở đầu bài này theo cách mà anh thích nhất: nhân lượng liên hợp.

SOLUTION:

Điều kiện: $3 \le x \le 5$. Phương trình đã cho tương đương với:
\[\sqrt {x - 3} - 1 + \sqrt {5 - x} - 1 - \left( {{x^2} - 8x + 16} \right) = 0\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{x - 4}}{{\sqrt {x - 3} + 1}} + \frac{{4 - x}}{{\sqrt {5 - x} + 1}} - {\left( {x - 4} \right)^2} = 0\]
\[ \Leftrightarrow \left( {x - 4} \right)\left( {\frac{1}{{\sqrt {x - 3} + 1}} - \frac{1}{{\sqrt {5 - x} + 1}} - x + 4} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 4\]
Biểu thức trong ngoặc các em dùng điều kiện để đánh giá sẽ suy ra được khác $0$.

KẾT LUẬN: Phương trình đã cho có nghiệm là $x=4$.

---

Anh giới thiệu kĩ hơn về phương phá nhân lượng liên hợp này được không ạ?

Anh giới thiệu kĩ hơn về phương phá nhân lượng liên hợp này được không ạ?

luxubuhl: Bạn lên mạng tìm, có rất nhiều tài liệu về phương pháp này, viết cũng khá chi tiết.

[Crystal]

Anh giới thiệu kĩ hơn về phương phá nhân lượng liên hợp này được không ạ?

Em vào đây tải tài liệu này về nghiên cứu nhé.

$\to$ http://diendantoanho...ndpost&p=314280

[nthoangcute]

Bài 54: Giải phương trình sau $\sqrt{5x+4}-x-3=(6x+7)^2$

Đặt $\sqrt{5x+4}=a(a \geq 0)$
Suy ra $x=\frac{a^2-4}{5}$
Vậy từ giả thiết ta có:
$$25a=176+137a^2+36a^4$$
$$\Leftrightarrow (6a^2-5a+11)(6a^2+5a+16)=0$$
Mà $6a^2-5a+11>0$ và $6a^2+5a+16>0$ với mọi $a$
Nên phương trình đã cho vô nghiệm

[T M]

Bài 54: Giải phương trình sau $\sqrt{5x+4}-x-3=(6x+7)^2$

Cách 2: Vì $VP\geq0$ nên để phương trình có nghiệm, $VT\geq0$ hay là $\sqrt{5x+4}\geq x+3$, vô lí, vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

[danganhaaaa]

Bài 55:
$x^{2}-3x+1=-\frac{\sqrt{3}}{3}\sqrt{x^{4}+x^{2}+1}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 29-05-2012 - 15:49

[nthoangcute]

Bài 55:
$x^{2}-3x+1=-\frac{\sqrt{3}}{3}\sqrt{x^{4}+x^{2}+1}$

Ta có: $x^4+x^2+1=(x^2+x+1)(x^2-x+1)$
Đặt $x^2+x+1=a, x^2-x+1=b(a.b>0)$ ta có: $x^2-3x+1=2b-a$
Vậy phương trình đã cho trở thành:
$$2b-a=-\frac{\sqrt{3ab}}{3}$$
$$\Rightarrow (2b-a)^2=\frac{ab}{3}$$
$$\Leftrightarrow 12b^2-12ab+3a^2=ab$$
$$\Leftrightarrow 12b^2-13ab+3a^2=0$$
$$\Leftrightarrow (3a-4b)(a-3b)=0$$
Xét $3a-4b=0$ ta được:
$$3(x^2+x+1)-4(x^2-x+1)=0$$
$$\Leftrightarrow -x^2+7x-1=0$$
$$\Leftrightarrow x=\frac{7 \pm 3\sqrt{5}}{2}$$
Xét $a-3b=0$ ta được
$$(x^2+x+1)-3(x^2-x+1)=0$$
$$\Leftrightarrow 2(x-1)^2=0$$
$$\Leftrightarrow x=1$$

Thử lại ta thấy chỉ có $x=1$ thỏa mãn đề bài
Vậy pt đã cho có nghiệm $x=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 29-05-2012 - 16:29

[nthoangcute]

Bài 55:
$x^{2}-3x+1=-\frac{\sqrt{3}}{3}\sqrt{x^{4}+x^{2}+1}$

Cách giải thứ 2:
$$x^{2}-3x+1=-\frac{\sqrt{3}}{3}\sqrt{x^{4}+x^{2}+1}$$
$$\Rightarrow (x^{2}-3x+1)^2=\frac{x^{4}+x^{2}+1}{3}$$
$$\Leftrightarrow (x^2-7x+1)(x-1)^2=0$$
$\Leftrightarrow x=1$ hoặc $x=\frac{7 \pm 3 \sqrt{5}}{2}$
Thử lại thấy $x=1$ thỏa mãn đề bài
Vậy $x=1$

[T M]

Bài 56: Giải phương trình $2x^2-6x-1=\sqrt{4x+5}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi luxubuhl: 29-05-2012 - 21:21

[danganhaaaa]

Bài 56: Giải phương trình $2x^2-6x-1=\sqrt{4x-5}$

bài này tớ nghĩ phải sửa đề thành 4x+5
nếu đề bài là như vậy :
C1:
đặt t=$\sqrt{4x+5}$
suy ra $x= \frac{t^{2}-5}{4}$
thay vào pt đầu suy ra $2\frac{t^{4}-10t^{2}+25}{16}-\frac{6}{4}(t^{2}-5)-1=t$
$\Leftrightarrow t^{4}-22t^{2}-8t+27=0$
$\Leftrightarrow (t^{2}+2t-7)(t^{2}-2t-11)=0$
tù đây ta có thể dễ dàng tìm được nghiệm!!!
C2:
ta có thể bình phương hai vế của phương trình với ĐK $2x^{2}-6x-1\geq 0$
ta được $x^{2}(x-3)^{2}-(x-1)^{2}=0$. từ đó ta tìm được nghiệm!!!
C3:
đặt $2y-3=\sqrt{4x+5}$
sau đó ta có thể dễ dàng đưa về hệ phương trình đối xứng
---------------------------------------------------------
topic trùng xuống rồi.các bạn nhiệt tình lên nhé!!!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi danganhaaaa: 29-05-2012 - 20:52

[T M]

Nhân bài làm của bạn danganhaaa, mình cũng xin nói thêm về cách 3 của bạn : Đặt $2y-3=\sqrt{4x+5}$

Nhiều bạn cũng sẽ thắc mắc, tại sao lại đặt như thế

Xét phương trình $2x^2-6x-1=\sqrt{4x+5}$, ta đặt $\sqrt{4x+5}=ay+b$ để đưa về hệ đối xứng (II), nghĩa là ta có hệ sau

$\left\{\begin{matrix} (ay+b)^2=4x+5 & & \\4x^2-12x-2=2(ay+b) & & \end{matrix}\right.$, để hệ này là đối xứng, ta dễ dàng suy ra

$\left\{\begin{matrix} a=2 & & \\ b=-3 & & \end{matrix}\right.$

Vậy ta đặt $\sqrt{4x+5}=2y-3$, để đưa về hệ đối xứng.



Bài 57: Giải phương trình $x^2-2x=2\sqrt{2x-1}$. Thử áp dụng cách ở trên nhé.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi luxubuhl: 29-05-2012 - 21:34

[Math Is Love]

Bài 57: Giải phương trình $x^2-2x=2\sqrt{2x-1}$.
Mình giải theo cách khác nhé: ĐK:$x\geqslant \frac{1}{2}$
$x^2-2x=2\sqrt{2x-1}$
$\Leftrightarrow x^{2}=2x-1+2\sqrt{2x-1}+1$
$\Leftrightarrow x^{2}=(\sqrt{2x-1}+1)^{2}$
$\Leftrightarrow x=\sqrt{2x-1}+1$(do x>0)
$\Leftrightarrow x-1=\sqrt{2x-1}$
$\Leftrightarrow x^{2}-2x+1=2x-1$
$\Leftrightarrow x^{2}-4x+2=0$
Giải phương trình ta được nghiệm duy nhất thỏa mãn ĐK:$x=2+\sqrt{2}$

[T M]

Bài 57: Giải phương trình $x^2-2x=2\sqrt{2x-1}$. Thử áp dụng cách ở trên nhé.

Lời giải khác

Đưa về hệ đối xứng, đặt $\sqrt{2x-1}=y-1 \Rightarrow (y-1)^2+1=2x$ (1)

Mặt khác, từ đề bài, ta có $(x-1)^2-1=2(y-1) \Leftrightarrow (x-1)^2+1=2y$ (2)

Từ (1)(2)

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} (y-1)^2+1=2x & & \\ (x-1)^2+1=2y & & \end{matrix}\right.\Rightarrow (x+y)(y-x)=0\Rightarrow x=y\vee x=-y$

$x=y\Rightarrow \sqrt{2x-1}=x-1\Rightarrow x=2+\sqrt{2}(True)$

$x=-y\Rightarrow \sqrt{2x-1}=-x-1(False)$

Vậy $\fbox{$x=2+\sqrt{2}$}$

-----------------------------------------------------------

Bài 58 Giải phương trình

$\sqrt[3]{x-9}=(x-3)^3+6$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi luxubuhl: 30-05-2012 - 14:51

[khanh3570883]

Bài 58 Giải phương trình

$\sqrt[3]{x-9}=(x-3)^3+6$

Đặt: $\sqrt[3]{{x - 9}} = y - 3$
Ta có hệ:
$\left\{ \begin{array}{l}
{\left( {x - 3} \right)^3} = y - 9 \\
{\left( {y - 3} \right)^3} = x - 9 \\
\end{array} \right.$
Trừ vế với vế của 2 phương trình ta được:
$\begin{array}{l}
\left( {x - y} \right)\left[ {{{\left( {x - 3} \right)}^2} + \left( {x - 3} \right)\left( {y - 3} \right) + {{\left( {y - 3} \right)}^2} + 1} \right] = 0 \\
\Rightarrow x + y \Leftrightarrow {\left( {x - 3} \right)^3} = x - 9 \Rightarrow x = 1 \\
\end{array}$
Vậy phương trình có nghiệm $x = 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khanh3570883: 31-05-2012 - 12:28

[Math Is Love]

Bạn nào chưa hiểu về hệ phương trình đối xứng thì tham khảo ở đây nhé http://kinhhoa.viole...ntry_id/2174764

[minhtuyb]

Ờ mà hết bài rồi thì phải. Thôi anh em làm tạm :
Bài 59: Giải hệ phương trình sau:
$$(I)\left\{\begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{2-\frac{1}{y}}=2\\ \frac{1}{\sqrt{y}}+\sqrt{2-\frac{1}{x}}=2\end{matrix}\right.$$
------------------
P/s: Anh Khánh edit bài xong thì nhờ mod del cm trên của mình nhé

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhtuyb: 31-05-2012 - 11:29

[thedragonknight]

Ờ mà hết bài rồi thì phải. Thôi anh em làm tạm :
Bài 59: Giải hệ phương trình sau:
$$(I)\left\{\begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{2-\frac{1}{y}}=2\\ \frac{1}{\sqrt{y}}+\sqrt{2-\frac{1}{x}}=2\end{matrix}\right.$$
------------------
P/s: Anh Khánh edit bài xong thì nhờ mod del cm trên của mình nhé

Sau khi chuyển vế và bình phương 2 vế phương trình (1) ta đc:
$4+\frac{1}{x}-4\sqrt{x}=2-\frac{1}{y}$
tương tự với pt (2):
$4+\frac{1}{y}-\frac{4}{\sqrt{y}}=2-\frac{1}{x}$
Đặt $a=\frac{1}{\sqrt{x}};b=\frac{1}{\sqrt{y}}$
Ta đc:
$4+a^{2}-4a=2-b^2$ (*)
$4+b^{2}-4b=2-a^{2}$
Giải hệ trên ta đc a=b
Thế a=b vào (*) ta có:$2a^{2}-4a+2=0$
suy ra a=1$\Rightarrow b=1$
từ đó a=1;b=1

[T M]

Ờ mà hết bài rồi thì phải. Thôi anh em làm tạm :
Bài 59: Giải hệ phương trình sau:
$$(I)\left\{\begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{2-\frac{1}{y}}=2\\ \frac{1}{\sqrt{y}}+\sqrt{2-\frac{1}{x}}=2\end{matrix}\right.$$
------------------

Lời giải khác

$PT\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{1}{x}=4-4\sqrt{2-\frac{1}{y}}+2-\frac{1}{y} & & \\ \frac{1}{y}=4-4\sqrt{2-\frac{1}{x}}+2-\frac{1}{x}& & \end{matrix}\right.\Rightarrow \sqrt{2-\frac{1}{y}}=\sqrt{2-\frac{1}{x}}\Rightarrow x=y$

Thay $x=y$ vào phương trình ban đầu, có

$\frac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{2-\frac{1}{x}}=2\Leftrightarrow x=1\Rightarrow y=1(True)$

Vậy $\fbox{$x=y=1$}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi luxubuhl: 31-05-2012 - 15:20

[Math Is Love]

Bài 60:
Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} (x-1)y^{2}+x+y=3& & \\ (y-2)x^{2}+y=x-1& & \end{matrix}\right.$

[minhtuyb]

Bài 60:
Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} (x-1)y^{2}+x+y=3& & \\ (y-2)x^{2}+y=x-1& & \end{matrix}\right.$

Bài 1:

$\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} \left( {x - 1} \right)y^2 + x + y = 3 \\ \left( {y - 2} \right)x^2 + y = x + 1 \\ \end{gathered} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \left( {x - 1} \right)y^2 + x - 1 = 2 - y \\ \left( {y - 2} \right)x^2 + y - 2 = x - 1 \\ \end{gathered} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \left( {x - 1} \right)\left( {y^2 + 1} \right) = 2 - y \\ \left( {y - 2} \right)\left( {x^2 + 1} \right) = x - 1 \\ \end{gathered} \right. \\ \end{gathered} $

$\begin{gathered} \Rightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {y - 2} \right)\left( {y^2 + 1} \right)\left( {x^2 + 1} \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {2 - y} \right) \\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {y - 2} \right)\left[ {\left( {y^2 + 1} \right)\left( {x^2 + 1} \right) + 1} \right] = 0 \\ \Rightarrow \left[ \begin{gathered} x = 1 \Leftrightarrow y = 2 \\ y = 2 \Leftrightarrow x = 1 \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left( {x;y} \right) = \left( {1;2} \right) \\ \end{gathered} $

-----------Đề thi vào lớp 10 chuyên ĐHKHTN Hà Nội năm học 2011-2012----------

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhtuyb: 01-06-2012 - 10:12