Chủ đề này có 1 trả lời

[Linh Trang]

Tính tích phân: \[\int_0^Π{\frac{xdx}{1+sinx}}\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Linh Trang: 25-05-2012 - 09:56

[Crystal]

Tính tích phân: \[\int_0^Π{\frac{xdx}{1+sinx}}\]

SOLUTION:

Đặt $x = \pi - t \Rightarrow dx = - dt$

Đổi cận: $\left\{ \begin{array}{l}
x = \pi \Rightarrow t = 0\\
x = 0 \Rightarrow t = \pi
\end{array} \right.$

Khi đó: \[I = \int\limits_0^\pi {\frac{{xdx}}{{1 + \sin x}}} = - \int\limits_\pi ^0 {\frac{{\left( {\pi - t} \right)dt}}{{1 + \sin \left( {\pi - t} \right)}}} = \int\limits_0^\pi {\frac{{\left( {\pi - t} \right)dt}}{{1 + \sin t}}} = \int\limits_0^\pi {\frac{\pi }{{1 + \sin t}}dt} - \int\limits_0^\pi {\frac{{tdt}}{{1 + \sin t}}} \]
\[ = \int\limits_0^\pi {\frac{\pi }{{1 + \sin x}}dx} - \int\limits_0^\pi {\frac{{xdx}}{{1 + \sin x}}} = \pi \int\limits_0^\pi {\frac{{dx}}{{1 + \sin x}}} - I \Rightarrow 2I = \pi \int\limits_0^\pi {\frac{{dx}}{{1 + \sin x}}} \]
\[ \Rightarrow I = \frac{\pi }{2}\int\limits_0^\pi {\frac{{dx}}{{1 + \sin x}}} = \frac{\pi }{2}\int\limits_0^\pi {\frac{{dx}}{{\sin \frac{\pi }{2} + \sin x}}} = ...\]
Đến đây bạn biến đổi tổng thành tích để tính tiếp...