Chủ đề này có 5 trả lời

[Crystal]

Bài toán. Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng:
\[\frac{1-3a}{a^2(1-a^2)}+\frac{1-3b}{b^2(1-b^2)}+\frac{1-3c}{c^2(1-c^2)}\ge0\]

AoPS

[minh29995]

Giả sử $a\geq b\geq c$ Suy ra:
$1-3a\leq 1-3b \leq 1-3c $
và $a^2-a^4 \geq b^2-b^4 \geq c^2-c^4$ (Do $a^2+b^2<1$)
Khi đó Áp dụng BĐT Chebyshev cho 2 bộ đơn điệu cùng chiều ta có:
$VT \geq (3-3a-3b-3c)(\frac{1}{a^2-a^4}+\frac{1}{b^2-b^4}+\frac{1}{c^2-c^4})=0$
Đpcm

[caovannct]

bài ni làm cách ni chắc hay hơn:
theo AM_GM ta có: $\frac{1}{a^{2}(1-a^{2})}\geq \frac{4}{a^{2}+1-a^{2}}=4$.
Tương tự như trên, VT$\geq 4(1-3a+1-3b+1-3c)=0$(vì a+b+c=1). Từ đó suy ra đpcm.

[minh29995]

bài ni làm cách ni chắc hay hơn:
theo AM_GM ta có: $\frac{1}{a^{2}(1-a^{2})}\geq \frac{4}{a^{2}+1-a^{2}}=4$.
Tương tự như trên, VT$\geq 4(1-3a+1-3b+1-3c)=0$(vì a+b+c=1). Từ đó suy ra đpcm.

Bạn có chắc là các tử số đều không âm không.!!

[Kenshin HoangDung C7]

còn cách khác là chứng minh (1-3a) cùng dấu với (1-a.a)
xem ra đơn giản hơn nhiều

[wallunint]

Phân tích trực tiếp bằng SOS.
Ta có bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

\[\sum{\left( b-a \right)\left( \frac{1}{{{a}^{2}}\left( 1-{{a}^{2}} \right)}-\frac{1}{{{b}^{2}}\left( 1-{{b}^{2}} \right)} \right)}\ge 0\]

\[\sum{{{\left( a-b \right)}^{2}}\left( \frac{\left( b+a \right)\left( 1-{{a}^{2}}-{{b}^{2}} \right)}{{{a}^{2}}{{b}^{2}}\left( 1-{{a}^{2}} \right)\left( 1-{{b}^{2}} \right)} \right)}\ge 0\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi wallunint: 29-05-2012 - 22:28