Chủ đề này có 2 trả lời

[wallunint]

Bài 1: Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a+b+c=6$. Cm:
\[\sqrt{\frac{{{\left( a+b \right)}^{3}}}{a+1}}+\sqrt{\frac{{{\left( b+c \right)}^{3}}}{b+2}}+\sqrt{\frac{{{\left( c+a \right)}^{3}}}{c+3}}\ge 12\]

Bài 2: Cho $a,b,c\ge 0$ sao cho $ab+bc+ca\ne 0$. Cm:
\[ \frac{a^{2}+bc}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b^{2}+ac}{a^{2}+c^{2}}+\frac{c^{2}+ab}{a^{2}+b^{2}}\ge 2+\frac{ab+bc+ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}} \]

[Tham Lang]

Vì mình không có thời gian nên chỉ tạm nêu hướng làm cho bài 2 thế này :
Nhân cả 2 vế cho $a^2+b^2+c^2$ . Rút gọn, ta cần chứng minh :
$$\sum{\dfrac{a^2(a^2+bc)}{b^2+c^2)}}\ge \sum{a^2} \Leftrightarrow \sum{a^2\left (\dfrac{a^2+bc}{b^2+c^2}-1\right )}\ge 0$$
Đến đây ta dùng S.O.S (cái này rất dễ)

[Nguyenhuyen_AG]

Bài 2: Cho $a,b,c\ge 0$ sao cho $ab+bc+ca\ne 0$. Cm:
\[ \frac{a^{2}+bc}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b^{2}+ac}{a^{2}+c^{2}}+\frac{c^{2}+ab}{a^{2}+b^{2}}\ge 2+\frac{ab+bc+ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}} \]

Bài này khá lỏng, ta có thể chứng minh bất đẳng thức mạnh hơn sau đây \[ \frac{a^{2}+2bc}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b^{2}+2ca}{c^{2}+a^{2}}+\frac{c^{2}+2ab}{a^{2}+b^{2}}\ge 3 \] Không mất tính tổng quát, ta giả sử $c=\min\{a,b,c\}.$ Lúc này ta có \[ \frac{a^{2}+2bc}{b^{2}+c^{2}}\ge \frac{a^2+c^2}{b^2+c^2},\; \frac{b^{2}+2ca}{c^{2}+a^{2}}\ge \frac{b^2+c^2}{a^2+c^2},\;\;\frac{c^{2}+2ab}{a^{2}+b^{2}}\ge \frac{2ab}{a^2+b^2}. \] Mặt khác, ta lại có \[\frac{a^2+c^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2+c^2}{a^2+c^2}-\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{a} \right )=\frac{(a-b)^2(ab-c^2)(a^2+b^2+c^2+ab)}{ab(a^2+b^2)(b^2+c^2)}\ge0,\] vậy ta cần chứng minh được \[\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{2ab}{a^2+b^2}\ge3.\] hay là \[\frac{(a-b)^2}{ab}\ge\frac{(a-b)^2}{a^2+b^2}.\] Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng.