Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Cho các số không âm a,b,c, a+b+c=3. Tính: 1) $min (a^3+b^3+c^3)$.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 Sun love moon HP

Sun love moon HP

    Lính mới

  • Thành viên
  • 2 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Hải Phòng
  • Sở thích:Sun Moon :X!

Đã gửi 28-05-2012 - 15:45

Cho các số không âm a,b,c, a+b+c=3. Tính:
1) $min (a^3+b^3+c^3)$.
2) $min (a^3+64b^3+c^3)$.
3) $max (\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{ac}+\sqrt[3]{bc})$.
4) $max (\sqrt{ab}+2\sqrt{ac}+\sqrt{bc})$.

Sun Love Moon :X!


#2 cvp

cvp

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 400 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Sky Math
  • Sở thích:Sky maths

Đã gửi 28-05-2012 - 15:49

1)
$\large a^3+b^3+c^3=(a^3+1+1)+(b^3+1+1)+(c^3+1+1)-6$
Theo BĐT cô si $\large a^3+1+1\geq 3a; b^3+1+1\geq 3b; c^3+1+1\geq 3c$.
Suy ra
$\large a^3+b^3+c^3\geq 3(a+b+c)-6=3$.
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$.
Vậy $min(a^3+b^3+c^3)=3. \blacksquare $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cvp: 28-05-2012 - 15:50

Hình đã gửi


#3 tranghieu95

tranghieu95

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 147 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:THPT Phan Bội Châu

Đã gửi 28-05-2012 - 16:22

Cho các số không âm a,b,c, a+b+c=3. Tính:

2) $min (a^3+64b^3+c^3)$.

Áp dụng bđt Holder ta có:
$(a^3+64b^3+c^3)(1+\dfrac{1}{8}+1)(1+\dfrac{1}{8}+1)\geq(a+b+c)^3=27$
$\Rightarrow (a^3+64b^3+c^3)\geq\dfrac{1728}{289}$
Dấu $=$ khi và chỉ khi $\dfrac{a}{1}=\dfrac{4a}{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{a}{1}$ và $a+b+c=3$
$\Leftrightarrow a=c=\dfrac{24}{17}; b=\dfrac{3}{17}$

3) $max (\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{ac}+\sqrt[3]{bc})$.

Áp dụng bđt AM-GM cho 3 số ko âm ta có:
$\sqrt[3]{ab}\leq \dfrac{a+b+1}{3}$
$\sqrt[3]{bc}\leq \dfrac{b+c+1}{3}$
$\sqrt[3]{ca}\leq \dfrac{c+a+1}{3}$
$\Rightarrow \sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{ac}+\sqrt[3]{bc}\leq \dfrac{2(a+b+c)+3}{3}=3$
Dấu $=$ khi và chỉ khi $a=b=c=1$

Cho các số không âm a,b,c, a+b+c=3. Tính:

4) $max (\sqrt{ab}+2\sqrt{ac}+\sqrt{bc})$.

Ta có:
$2\sqrt{ac}\leq a+c$
Với $k>0$ ta có: $\sqrt{ab}=\dfrac{\sqrt{a.kb}}{\sqrt{k}}\leq \dfrac{a+kb}{2\sqrt{k}}$
$\sqrt{bc}=\dfrac{\sqrt{c.kb}}{\sqrt{k}}\leq \dfrac{c+kb}{2\sqrt{k}}$
$\Rightarrow \sqrt{ab}+2\sqrt{ac}+\sqrt{bc}\leq (a+c)(\dfrac{1}{2\sqrt{k}}+1)+b.\sqrt{k}$
Chọn $k$ sao cho $\dfrac{1}{2\sqrt{k}}+1=\sqrt{k} \Leftrightarrow k=\dfrac{\sqrt{3}+2}{2}$
$\Rightarrow \sqrt{ab}+2\sqrt{ac}+\sqrt{bc}\leq \dfrac{3\sqrt{3}+3}{2}$
Dấu $=$ khi và chỉ khi $a=c=\dfrac{3(2+\sqrt{3})}{6+\sqrt{3}}; b=\dfrac{6}{6+\sqrt{3}}$
TỪ TỪ LÀ HẠNH PHÚC
A1K39PBC

#4 cvp

cvp

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 400 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Sky Math
  • Sở thích:Sky maths

Đã gửi 28-05-2012 - 16:57

3) cách 2:
$\large 3=a+b+c=(\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b+\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}b+\frac{1}{2}c+\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}c+\frac{1}{2})-\frac{3}{2}$
Áp dụng BĐT cô si cho 3 số hạng trog các dấu ngoặc ta có được:
$\large 3\geq \sqrt[3]{\frac{1}{8}ab}+\sqrt[3]{\frac{1}{8}bc}+\sqrt[3]{\frac{1}{8}ac}-\frac{3}{2}\Leftrightarrow 3\geq \frac{1}{2}\sqrt[3]{ab}+\frac{1}{2}\sqrt[3]{bc}+\frac{1}{2}\sqrt[3]{ac}-\frac{3}{2}\Leftrightarrow 6\geq \sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{ac}+\sqrt[3]{bc}-3 \Rightarrow \blacksquare .$

Hình đã gửi





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh