Chủ đề này có 1 trả lời

[Elnjno]

Tính $\int {\int\limits_S {{z^2}({x^2} + 2y)dxdy} } $, S là biên của khối nón $\sqrt {{x^2} + {y^2}} \le z \le 1$, hướng ra ngoài.

[hoangnbk]

sử dụng công thức Ostrograsky, ta có:
$ I= \int \int_V \int 2z(x^2+2y)dxdydz $
Xét V : $\left\{\begin{matrix} -1 \leq x \leq 1\\ -\sqrt{1-x^2} \leq y \leq \sqrt{1-x^2} \\ \sqrt{x^2+y^2} \leq z \leq 1 \end{matrix}\right.$
biến đổi ta có (chỗ này mình làm hơi tắt):
$I = \int_{-1}^{1}dx \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} dy \int_{\sqrt{x^2+y^2}}^{1} 2z(x^2+2y)dz = \int_{-1}^{1}dx \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} (x^2+2y)(1-x^2-y^2)dy = \int_{-1}^{1}dx \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} -2y^3-x^2y^2+2y(1-x^2)+x^2(1-x^2)dy$
do $ -2y^3 + 2y(1-x^2)$ là hàm lẻ theo biến y nên $\int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} -2y^3+2y(1-x^2)dy=0$
suy ra $ I= \int_{-1}^{1} \frac{-2x^2(1-x^2)^{\frac{3}{2}}}{3}+2x^2(1-x^2)\sqrt{1-x^2}dx=\int_{-1}^{1} \frac{4x^2(1-x^2)^{\frac{3}{2}}}{3}dx $
đến đây đặt $ x= sint , t \in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$ rồi bạn tự biến đổi nha