Cho số nguyên $n$ với $n\geq 3$.
Chứng minh rằng:$n^{n+1}>(n+1)^{n}$.
Chứng minh rằng:$n^{n+1}>(n+1)^{n}$.
Bắt đầu bởi cvp, 29-05-2012 - 15:30
#1
Đã gửi 29-05-2012 - 15:30
#2
Đã gửi 29-05-2012 - 15:52
Lấy logarit 2 của bđt trên ta có: $(n+1)ln n>nln(n+1)$Cho số nguyên $n$ với $n\geq 3$.
Chứng minh rằng:$n^{n+1}>(n+1)^{n}$.
$\Leftrightarrow \dfrac{ln n}{n}>\dfrac{ln(n+1)}{n+1}$
Xét hàm $f(x)=\dfrac{ln x}{x}$ trên $[3;+\infty )$
Ta có: $f'(x)=\dfrac{1-lnx}{x^2}<0 với x\in [3;+\infty )$
Do đó $f(x)$ là hàm nghịch biến trên $[3;+\infty )$
Vậy ta có đpcm
- funcalys yêu thích
TỪ TỪ LÀ HẠNH PHÚC
A1K39PBC
A1K39PBC
#3
Đã gửi 29-05-2012 - 16:12
C2: Đặt $a=n + \frac{1}{2}$, cần c/m $(a-\frac{1}{2})^{n+1}> (a+\frac{1}{2})^{n}$
Thật vậy, ta có $(a-\frac{1}{2})^{n+1}> (a+\frac{1}{2})^{n}
\Leftrightarrow (a^{2}-\frac{1}{4})^{n+1}> (a+\frac{1}{2})^{n+1}
\Leftrightarrow a^{2}-\frac{1}{4}>a+\frac{1}{2}\Leftrightarrow n^{2}+n+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}-n-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}>0\Leftrightarrow n^{2}>1$
Đến đây thì dễ r
Thật vậy, ta có $(a-\frac{1}{2})^{n+1}> (a+\frac{1}{2})^{n}
\Leftrightarrow (a^{2}-\frac{1}{4})^{n+1}> (a+\frac{1}{2})^{n+1}
\Leftrightarrow a^{2}-\frac{1}{4}>a+\frac{1}{2}\Leftrightarrow n^{2}+n+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}-n-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}>0\Leftrightarrow n^{2}>1$
Đến đây thì dễ r
- MIM yêu thích
#4
Đã gửi 30-05-2012 - 07:39
Ta có:
$n^{n+1}>(n+1)^n \Leftrightarrow (\frac{n+1}{n})^n<n (1)$.
$\blacklozenge n=3$ thì BĐT $(1)$ đúng.
$\blacklozenge$ Giả sử $(1)$ đúng với $n=k$ ta được : $(\frac{k+1}{k})^k<k$.
Cần chứng minh $n=k+1$ đúng hay $(\frac{k+2}{k+1})^{k+1}<k+1$.
Ta có:
$(\frac{k+2}{k+1})^{k+1}=(\frac{k+2}{k+1})^k.\frac{k+2}{k+1}<(\frac{k+1}{k})^k.\frac{k+2}{k+1}<k.\frac{k+2}{k+1}<k+1$.
Suy ra BĐT (1) đúng nên BĐT cần chứng minh đúng với mọi $n\geq 3$.
$n^{n+1}>(n+1)^n \Leftrightarrow (\frac{n+1}{n})^n<n (1)$.
$\blacklozenge n=3$ thì BĐT $(1)$ đúng.
$\blacklozenge$ Giả sử $(1)$ đúng với $n=k$ ta được : $(\frac{k+1}{k})^k<k$.
Cần chứng minh $n=k+1$ đúng hay $(\frac{k+2}{k+1})^{k+1}<k+1$.
Ta có:
$(\frac{k+2}{k+1})^{k+1}=(\frac{k+2}{k+1})^k.\frac{k+2}{k+1}<(\frac{k+1}{k})^k.\frac{k+2}{k+1}<k.\frac{k+2}{k+1}<k+1$.
Suy ra BĐT (1) đúng nên BĐT cần chứng minh đúng với mọi $n\geq 3$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sun love moon HP: 30-05-2012 - 07:40
- cvp, funcalys, nguyenta98 và 2 người khác yêu thích
Sun Love Moon :X!
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh