Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Chứng minh rằng:$n^{n+1}>(n+1)^{n}$.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 cvp

cvp

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 400 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Sky Math
  • Sở thích:Sky maths

Đã gửi 29-05-2012 - 15:30

Cho số nguyên $n$ với $n\geq 3$.
Chứng minh rằng:$n^{n+1}>(n+1)^{n}$.

Hình đã gửi


#2 tranghieu95

tranghieu95

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 147 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:THPT Phan Bội Châu

Đã gửi 29-05-2012 - 15:52

Cho số nguyên $n$ với $n\geq 3$.
Chứng minh rằng:$n^{n+1}>(n+1)^{n}$.

Lấy logarit 2 của bđt trên ta có: $(n+1)ln n>nln(n+1)$
$\Leftrightarrow \dfrac{ln n}{n}>\dfrac{ln(n+1)}{n+1}$
Xét hàm $f(x)=\dfrac{ln x}{x}$ trên $[3;+\infty )$
Ta có: $f'(x)=\dfrac{1-lnx}{x^2}<0 với x\in [3;+\infty )$
Do đó $f(x)$ là hàm nghịch biến trên $[3;+\infty )$
Vậy ta có đpcm
TỪ TỪ LÀ HẠNH PHÚC
A1K39PBC

#3 funcalys

funcalys

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 519 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Air

Đã gửi 29-05-2012 - 16:12

C2: Đặt $a=n + \frac{1}{2}$, cần c/m $(a-\frac{1}{2})^{n+1}> (a+\frac{1}{2})^{n}$
Thật vậy, ta có $(a-\frac{1}{2})^{n+1}> (a+\frac{1}{2})^{n}
\Leftrightarrow (a^{2}-\frac{1}{4})^{n+1}> (a+\frac{1}{2})^{n+1}
\Leftrightarrow a^{2}-\frac{1}{4}>a+\frac{1}{2}\Leftrightarrow n^{2}+n+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}-n-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}>0\Leftrightarrow n^{2}>1$
Đến đây thì dễ r :)
  • MIM yêu thích

#4 Sun love moon HP

Sun love moon HP

    Lính mới

  • Thành viên
  • 2 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Hải Phòng
  • Sở thích:Sun Moon :X!

Đã gửi 30-05-2012 - 07:39

Ta có:
$n^{n+1}>(n+1)^n \Leftrightarrow (\frac{n+1}{n})^n<n (1)$.
$\blacklozenge n=3$ thì BĐT $(1)$ đúng.
$\blacklozenge$ Giả sử $(1)$ đúng với $n=k$ ta được : $(\frac{k+1}{k})^k<k$.
Cần chứng minh $n=k+1$ đúng hay $(\frac{k+2}{k+1})^{k+1}<k+1$.
Ta có:
$(\frac{k+2}{k+1})^{k+1}=(\frac{k+2}{k+1})^k.\frac{k+2}{k+1}<(\frac{k+1}{k})^k.\frac{k+2}{k+1}<k.\frac{k+2}{k+1}<k+1$.
Suy ra BĐT (1) đúng nên BĐT cần chứng minh đúng với mọi $n\geq 3$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sun love moon HP: 30-05-2012 - 07:40

Sun Love Moon :X!





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh