Chủ đề này có 1 trả lời

[NguyenTaiLongYoshi]

Dưới đây là một số bài toán mình sưu tầm được, post cho mọi người làm :
1, Giả sử $n\in \mathbb{N}$,$n\geq 2$. Xét các STN =1111.....111 (n chữ số 1)
CMR: Nếu là số nguyên tố thì n là ước của -1
2.Giả sử $p\in\mathbb{P}$ $a,b\in\mathbb{N}$$(a<b)$ thỏa mãn:
Tổng các phân số tối giản có mẫu p nằm giữa a và b bằng 2011. Tìm $p,a,b$
3.Cho 7 số nguyên tố khác nhau: $a;b;c;a+b+c;a+b-c;b+c-a;a+c-b$. Trong đó 2 trong 3 số có tổng bằng 800. Gọi d là hiệu số giữa số lớn nhất $a,b,c$ và số nhỏ nhất trong 7 số nguyên tố đã cho.Tìm max của d.
4.Cho số nguyên tố $p$. Giả sử $x,y$ là các số tự nhiên khác 0 thỏa mãn :
$\frac{x^{2}+py^{2}}{xy}$ là một số tự nhiên. CMR: $\frac{x^{2}+py^{2}}{xy}=p+1$.
5.Giả sử số nguyên tố p có thể viết thành hiệu của 2 lập phương của 2 số nguyên dương khác nhau. CMR: Đem 4p chia cho 3 và loại bỏ phần dư sẽ được kết quả là bình phương của một số nguyên lẻ.
6.Cho tam giác vuông có độ dài các cạnh là số nguyên. Hai trong các số đó là các số nguyên tố và hiệu của chúng là 50. Hãy tính giá trị min mà cạnh thứ 3 có thể nhận được.
7.Tìm n để : $n!=2^{15}.3^{16}.5^{3}.7^{2}.11.13$
8.CMR có vô số các bộ 3 thứ tự các số nguyên dương $(a,b,c)$ sao cho ước chung lớn nhất của a,b,c là 1. Ngoài ra tổng của $ a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}$ là bình phương của một số nguyên.
9.
a, Xác định số nguyên dương n sao cho:
$(2^{n}-1)\vdots7$
b,CMR; với mọi n nguyên dương thì $2^{n}+1$ không chia hết cho 7.
10.Tìm 2 số nguyên dương thỏa mãn 2 điều kiện:
1.ab(a+b) không chia hết cho 7.
2.$(a+b)^{7}-a^{7}-b^{7}$ chia hết cho $7^{7}$.
11. Tìm tất cả các số nguyên dương $a,b,c$ thỏa mãn $a<b<c$ và $a^{2}b+a+b$ chia hết cho $ab^{2}+b+7$.
12.Tìm các số nguyên tố p,q sao cho:
$(2p+2q)\vdots pq$
13.Cho a,b nguyên dương khác 0. TÌm các số nguyên tố p có thể viết :
$\frac{1}{p}=\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 30-05-2012 - 04:59

[nguyenta98]

1, Giả sử $n\in \mathbb{N}$,$n\geq 2$. Xét các STN =1111.....111 (n chữ số 1)
CMR: Nếu là số nguyên tố thì n là ước của -1

Giải như sau:
Bổ đề: Nếu $a_n \in \mathbb {P} \rightarrow n \in \mathbb {P}$
Cm:
Giả sử $n$ là hợp số suy ra $n \vdots d, d>1$
Suy ra $a_n=111...11 (\text{n số 1}) =11..11 (\text{d số 1}) * 10...0100..01....001 (\text{n/d số 1})$
Do đó $a_n$ là hợp số suy ra mâu thuẫn (do $a_n \in \mathbb {P}$)
Vậy $n$ nguyên tố
Áp dụng vào bài, ta có $a_n-1=11...10 (\text{n-1 số 1})=\dfrac{10^{n-1}-1}{9}.10 $
Ta có $n=2$ thì bài hiển nhiên, $n=3$ loại, $n=5$ thì $11111=41.271$ loại
Nếu $n>5$ suy ra $gcd(10,n)=gcd(9,n)=1$ do đó theo fermat nhỏ suy ra $10^{n-1}-1 \vdots n$
Kết hợp với $gcd(9,n)=1 \rightarrow \dfrac{10^{n-1}-1}{9}.10 \vdots n \rightarrow a_n-1 \vdots n \rightarrow \text {đpcm}$

3.Cho 7 số nguyên tố khác nhau: $a;b;c;a+b+c;a+b-c;b+c-a;a+c-b$. Trong đó 2 trong 3 số có tổng bằng 800. Gọi d là hiệu số giữa số lớn nhất $a,b,c$ và số nhỏ nhất trong 7 số nguyên tố đã cho.Tìm max của d.

Bài giải mình post bên mathlink

Without loss of generality we can assume $a>b>c$ <1>
Clearly $a+b+c$ is the largest <2>
It's easy to see that since <1> we get $a+b+c>a+b-c>a+c-b>b+c-a$
And now we compare $b+c-a$ with $c$; we have $c-(b+c-a)=a+c-(b+c)=a-b>0$
Thus $c>b+c-a$ and therefore $b+c-a$ is the smallest <3>
Since <2> and <3> we get $a+b+c-(b+c-a)=d \rightarrow 2a=d$
Thus $d$ is maximal when $a$ is maximal.
If $b+c-a=800-a \rightarrow \max a =797 \rightarrow d=1594$
If $a+b=800$
We know that there are no even number in $a,b,c$ (it's easy to prove)
So $b\geq 3 \rightarrow a\le 797 \rightarrow d\le 1594$
If $a+c=800$ similarly, $c\geq 3 \rightarrow a\le 797 \rightarrow d\le 1594$
So $\boxed{d=1594}$ is the maximum

4.Cho số nguyên tố $p$. Giả sử $x,y$ là các số tự nhiên khác 0 thỏa mãn :
$\frac{x^{2}+py^{2}}{xy}$ là một số tự nhiên. CMR: $\frac{x^{2}+py^{2}}{xy}=p+1$.

Bài này bị bỏ bẵng lâu dài mà không biết
Giải như sau:
Đặt $gcd(x,y)=d \rightarrow x=dm,y=dn, gcd(m,n)=1$
Do đó $A=\dfrac{d^2m^2+p.d^2n^2}{d^2mn} \in \mathbb{Z} \rightarrow mn|m^2+p.n^2 \rightarrow n|m^2 \rightarrow n=1$ (do $gcd(m,n)=1$)
Như vậy $m|m^2+p \rightarrow m|p,p\in \mathbb{P} \rightarrow m=1,p$
Nếu $m=1 \rightarrow Q.E.D$
Nếu $m=p \rightarrow Q.E.D$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 30-05-2012 - 15:37