Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Turkey JBMO Team Selection Test 2012


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 15 trả lời

#1 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 30-05-2012 - 15:35

Day1, 27 May

Problem 1: Find the greatest positive integer $n$ for which $n$ is divisible by all positive integers whose cube is not greater than $n.$

Problem 2: Let $S=\{1,2,3,\ldots,2012\}.$ We want to partition $S$ into two disjoint sets such that both sets do not contain two different numbers whose sum is a power of $2.$ Find the number of such partitions.

Problem 3:Let $[AB]$ be a chord of the circle $\Gamma$ not passing through its center and let $M$ be the midpoint of $[AB].$ Let $C$ be a variable point on $\Gamma$ different from $A$ and $B$ and $P$ be the point of intersection of the tangent lines at $A$ of circumcircle of $CAM$ and at $B$ of circumcircle of $CBM.$ Show that all $CP$ lines pass through a fixed point.

Problem 4:Find the greatest real number $M$ for which \[ a^2+b^2+c^2+3abc \geq M(ab+bc+ca) \] for all non-negative real numbers $a,b,c$ satisfying $a+b+c=4.$

Day2, 28 May

Problem 5: Let $a, b, c$ be the side-lengths of a triangle, $r$ be the inradius and $r_a, r_b, r_c$ be the corresponding exradius. Show that
\[ \frac{a+b+c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \leq 2 \cdot \frac{\sqrt{{r_a}^2+{r_b}^2+{r_c}^2}}{r_a+r_b+r_c-3r} \]
Problem 6: Find all positive integers $m,n$ and prime numbers $p$ for which $\frac{5^m+2^np}{5^m-2^np}$ is a perfect square.

Problem 7: Show that for all real numbers $x, y$ satisfying $x+y \geq 0$
\[ (x^2+y^2)^3 \geq 32(x^3+y^3)(xy-x-y) \]
Problem 8: Let $G$ be a connected simple graph. When we add an edge to $G$ (between two unconnected vertices) using at most $17$ edges we can reach to any vertex from any vertex. Find the maximum number of edges to be used to reach any vertex from any vertex in the original graph, i.e. in the graph before we add an edge.

AoPS



#2 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2938 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 30-05-2012 - 16:35

Day1, 27 May

Problem 1: Tìm số nguyên dương n $n$ sao cho $n$ chia hết cho tat cả các số nguyên dương mà lập phương của nó không lớn hơn $n.$

Problem 2: Let $S=\{1,2,3,\ldots,2012\}.$ We want to partition $S$ into two disjoint sets such that both sets do not contain two different numbers whose sum is a power of $2.$ Find the number of such partitions.

Problem 3:Let $[AB]$ be a chord of the circle $\Gamma$ not passing through its center and let $M$ be the midpoint of $[AB].$ Let $C$ be a variable point on $\Gamma$ different from $A$ and $B$ and $P$ be the point of intersection of the tangent lines at $A$ of circumcircle of $CAM$ and at $B$ of circumcircle of $CBM.$ Show that all $CP$ lines pass through a fixed point.

Problem 4:Tìm số $M$ tốt nhất sao cho \[ a^2+b^2+c^2+3abc \geq M(ab+bc+ca) \] với $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a+b+c=4.$

Day2, 28 May

Problem 5: Cho $a, b, c$ là độ dài ba cạnh một tam giác, $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp; $r_a, r_b, r_c$ là bán kính đường tròn nội tiếp tương ứng với các cạnh. Chứng minh rằng:
\[ \frac{a+b+c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \leq 2 \cdot \frac{\sqrt{{r_a}^2+{r_b}^2+{r_c}^2}}{r_a+r_b+r_c-3r} \]
Problem 6: Tìm các số nguyên dương $m,n$ và số nguyên tố $p$ mà $\frac{5^m+2^np}{5^m-2^np}$ là số chính phương.

Problem 7: Cho số thực $x, y$ thỏa mãn $x+y \geq 0$
\[ (x^2+y^2)^3 \geq 32(x^3+y^3)(xy-x-y) \]
Problem 8: Let $G$ be a connected simple graph. When we add an edge to $G$ (between two unconnected vertices) using at most $17$ edges we can reach to any vertex from any vertex. Find the maximum number of edges to be used to reach any vertex from any vertex in the original graph, i.e. in the graph before we add an edge.

AoPS

Dịch vậy không biết đúng không. Các TNV dịch tiếp hộ. Chỗ tô màu không chắc lắm :wacko:

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#3 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4156 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 31-05-2012 - 12:22

Problem 2:
Cho $S=\{ 1,2,3,\ldots,2012\}.$ Ta cần phải chia $S$ thành 2 tập rời nhau sao cho cả 2 tập đều không chứa những bộ 2 số có tổng là lũy thừa của $2$. Tìm số lượng các tập như vậy.

Problem 3:
Cho $AB$ là 1 dây trên đường tròn $\Gamma$ không đi qua tâm và gọi $M$ là trung điểm dây $AB$. Gọi $C$ là điểm di động trên $\Gamma$ khác với $A$ và $B$; $P$ là giao điểm của tiếp tuyến tại $A$ của đường tròn ngoại tiếp $\vartriangle CAM$ và tiếp tuyến tại $B$ của đường tròn ngoại tiếp $\vartriangle CBM$. Chứng minh rằng $CP$ luôn đi qua 1 điểm cố định.

Chỗ Problem 5, tớ nghĩ "the corresponding exradius" là bán kính đường tròn bàng tiếp ;)
Probleam 8:
Cho $G$ là 1 đồ thị đơn liên thông. Khi ta thêm 1 cạnh vào $G$ (giữa 2 đinh không liên thông) sử dụng nhiều nhất $17$ cạnh, ta có thể đi đến mọi đỉnh từ bất kì đỉnh khác. Tìm số cạnh lớn nhất cần dùng để tạo để có thể tạo sự liên thông trong mọi đỉnh trong đồ thị gốc (là đồ thị trước khi thêm cạnh vào)

Dịch thế này, thấy không ổn lắm. Ai có kiến thức thì vào dịch dùm lại chút :D

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 31-05-2012 - 15:31

Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.

#4 anh qua

anh qua

    Sĩ quan

  • Hiệp sỹ
  • 476 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:huyện Lặng Gió, tỉnh Quan Họ

Đã gửi 31-05-2012 - 13:03

\[ \frac{a+b+c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \leq 2 \cdot \frac{\sqrt{{r_a}^2+{r_b}^2+{r_c}^2}}{r_a+r_b+r_c-3r} \]
Problem 6: Find all positive integers $m,n$ and prime numbers $p$ for which $\frac{5^m+2^np}{5^m-2^np}$ is a perfect square

AoPS


Lời giải:
Ta có: $\frac{5^m+2^np}{5^m-2^np} = a^2$
Suy ra: $5^m(a^2-1)=2^{n}.p(a^2+1)$
+) $p$ khác $5;p$ lẻ.
Ta có: $a^2-1=2^n.p.k$ và $a^2+1=5^m.k$
suy ra: $2=k(5^m-2^n.p)$
- Nếu $k = 1$ suy ra $5^m=2+2^n.p$ ( không có nghiệm nguyên dương).
-Nếu $k=2$ thì ta có: $5^m-1=2^n.p$
Do đó: $v_{2}(m)+v_{2}(5-1)+v_{2}(5+1) -1 = n$
Từ đây suy ra: $v_{2}(m)= n-2$
Hay $m=2^{n-2}.k$ (k lẻ)
Suy ra: $5^m-1 = (5-1)(5^{k-1}+5^{k-2}+...+5+1)(5+1)(5^{k-1}-...-5+1)(5^{2k}+1)...(5^{2^{n-3}.k}+1) = 2^{n}.p$ (mâu thuẫn với p nguyên tố)
Trường hợp p =5; p=2 đơn giản.
p/s: Bài cuối trước khi đi ngủ!
Give me some sunshine
Give me some rain
Give me another chance
I wanna grow up once again

#5 funcalys

funcalys

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 519 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Air

Đã gửi 31-05-2012 - 15:42

Chỗ Problem 5, tớ nghĩ "the corresponding exradius" là bán kính đường tròn bàng tiếp ;)
Probleam 8:
Cho $G$ là 1 đồ thị đơn liên thông. Khi ta thêm 1 cạnh vào $G$ (giữa 2 đinh không liên thông) sử dụng nhiều nhất $17$ cạnh, ta có thể đi đến mọi đỉnh từ bất kì đỉnh khác. Tìm số cạnh lớn nhất cần dùng để tạo để có thể tạo sự liên thông trong mọi đỉnh trong đồ thị gốc (là đồ thị trước khi thêm cạnh vào)

Dịch thế này, thấy không ổn lắm. Ai có kiến thức thì vào dịch dùm lại chút :D

Bài 8: Cho $G$ là đồ thị đơn liên thông. Nếu ta thêm 1 cạnh vào giữa 2 đỉnh không liên thông của $G$ (nhiều nhất nhất $17$ cạnh) , thì từ một đỉnh bất kì của G, ta có thể đến mọi đỉnh khác. Hãy tìm số canh lớn nhất để ta có thể đến mọi đỉnh khác từ một đỉnh bất kì của đồ thị gốc (đồ thị trước khi được thêm cạnh)
:)

Day1, 27 May

Problem 1: Tìm số nguyên dương n $n$ sao cho $n$ chia hết cho tat cả các số nguyên dương mà lập phương của nó không lớn hơn $n.$

Problem 2: Let $S=\{1,2,3,\ldots,2012\}.$ We want to partition $S$ into two disjoint sets such that both sets do not contain two different numbers whose sum is a power of $2.$ Find the number of such partitions.

Problem 3:Let $[AB]$ be a chord of the circle $\Gamma$ not passing through its center and let $M$ be the midpoint of $[AB].$ Let $C$ be a variable point on $\Gamma$ different from $A$ and $B$ and $P$ be the point of intersection of the tangent lines at $A$ of circumcircle of $CAM$ and at $B$ of circumcircle of $CBM.$ Show that all $CP$ lines pass through a fixed point.

Problem 4:Tìm số $M$ tốt nhất sao cho \[ a^2+b^2+c^2+3abc \geq M(ab+bc+ca) \] với $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a+b+c=4.$

Day2, 28 May

Problem 5: Cho $a, b, c$ là độ dài ba cạnh một tam giác, $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp; $r_a, r_b, r_c$ là bán kính đường tròn nội tiếp tương ứng với các cạnh. Chứng minh rằng:
\[ \frac{a+b+c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \leq 2 \cdot \frac{\sqrt{{r_a}^2+{r_b}^2+{r_c}^2}}{r_a+r_b+r_c-3r} \]
Problem 6: Tìm các số nguyên dương $m,n$ và số nguyên tố $p$ mà $\frac{5^m+2^np}{5^m-2^np}$ là hình vuông

Problem 7: Cho số thực $x, y$ thỏa mãn $x+y \geq 0$
\[ (x^2+y^2)^3 \geq 32(x^3+y^3)(xy-x-y) \]
Problem 8: Let $G$ be a connected simple graph. When we add an edge to $G$ (between two unconnected vertices) using at most $17$ edges we can reach to any vertex from any vertex. Find the maximum number of edges to be used to reach any vertex from any vertex in the original graph, i.e. in the graph before we add an edge.

AoPS

Dịch vậy không biết đúng không. Các TNV dịch tiếp hộ. Chỗ tô màu không chắc lắm :wacko:

Bài 1: Tìm $n$ nguyên dương sao cho $n$ chia hết cho tất cả các số nguyên dương có lập phương không vượt quá $n$.
Bài 2: Cho $S=\{1,2,3,\ldots,2012\}$. Hãy tìm số phân hoạch thỏa mãn: khi ta phân hoạch $S$ thành hai tập rời nhau, hai tập ấy sẽ không chứa hai phần tử phân biệt nào có tổng là lũy thừa của 2.
Bài 3: Cho đường tròn $\Gamma$ có dây $AB$ không đi qua tâm, $M$ là trung điểm $AB$. Cho điểm $C$ chạy trên $\Gamma\setminus\begin{Bmatrix}
A,B&
\end{Bmatrix}$, $P$ là giao điểm giữa tiếp tuyến tại $A$ của đường tròn ngoại tiếp $CAM$ và tiếp tuyến tại $B$ của đường tròn ngoại tiếp $CBM$. Chứng minh rằng $CP$ đi qua điểm cố định.

Bài 4: Tìm số thực $M$ lớn nhất sao cho \[ a^2+b^2+c^2+3abc \geq M(ab+bc+ca) \], với $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a+b+c=4$.
Bài 6: Tìm $m,n$ nguyên dương và $p$ nguyên tố sao cho $\frac{5^m+2^np}{5^m-2^np}$ là số chính phương.
Bài 7: Chứng minh rằng với mọi $x, y$ thực, thỏa mãn $x+y \geq 0$ thì
\[ (x^2+y^2)^3 \geq 32(x^3+y^3)(xy-x-y) \].
Có sai thì sửa giùm mình :icon6:

#6 nguyenta98

nguyenta98

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1259 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Number theory, Combinatorics-number theory problems

Đã gửi 31-05-2012 - 17:30

Bài 1: Tìm $n$ nguyên dương sao cho $n$ chia hết cho tất cả các số nguyên dương có lập phương không vượt quá $n$.
Bài 6: Tìm $m,n$ nguyên dương và $p$ nguyên tố sao cho $\frac{5^m+2^np}{5^m-2^np}$ là số chính phương.

Anh anh qua đã đưa ra lời giải cho bài 6, em xin đưa lời giải bài 6 (cách khác) và bài 1
Giải như sau:
Bài 6: Vì $\frac{5^m+2^np}{5^m-2^np}$ là số chính phương nên $5^m-2^np|5^m+2^np \rightarrow 5^m-2^np|5^m+2^np-(5^m-2^np)-2^{n+1}.p$
Suy ra $5^m-2^np|2^{n+1}.p$
TH1: $p=2,5$ dễ xét
TH2: $p>5$ suy ra $5^m-2^np$ là số lẻ mà nó là ước của $2^{n+1}.p$
Do đó $5^m-2^np=1$ hoặc $5^m-2^np=p$
Nếu $5^m-2^np=p \rightarrow p|5^m$ vô lý do $p>5$
Nếu $5^m-2^np=1 \rightarrow 5^m-1=2^np$
Suy ra $m$ chẵn vì nếu $m$ lẻ suy ra $5^m-1 \equiv 4 \pmod{8} \rightarrow n=2 \rightarrow 5^m=4p+1$, kết hợp với $\frac{5^m+2^np}{5^m-2^np}=5^m+2^np=a^2$
Thay $5^m=4p+1 \rightarrow 4p+1+4p=a^2 \rightarrow 8p=(a-1)(a+1)$
Khi đó nếu $a \equiv 1 \pmod{4} \rightarrow p=\dfrac{a-1}{4}.\dfrac{a+1}{2}$ nên $\dfrac{a-1}{4}$ hoặc $\dfrac{a+1}{2}$ phải bằng $1$ nên dễ rồi (do $p$ nguyên tố)
Còn nếu $a \equiv 3 \pmod{4} \rightarrow p=\dfrac{a+1}{4}.\dfrac{a-1}{2}$ tương tự một trong hai số buộc $=1$ do $p$ nguyên tố
Như vậy $m$ chẵn nên $m=2k$
Khi đó $5^m-1=2^np \rightarrow 5^{2k}-1=2^np \rightarrow (5^k-1)(5^k+1)=2^np$
Nhận xét $5^k+1$ chia 4 dư 2 do đó $5^k+1=2$ hoặc $5^k+1=2p$ nếu $k^k+1=2$ xong, còn nếu $5^k+1=2p <1>$
Suy ra $5^k-1=2^{n-1}$ mặt khác do $<1>$ suy ra $k=2^h$ vì nếu $k=2^x.y$ với $y$ lẻ suy ra $5^k+1=5^{2^x.y}+1=(5^{2^x}+1)(...)$ là tích của 2 số mà $5^{2^x}+1$ chia hết cho $2$ nên $p$ là tích hai số vô lý do $p$ nguyên tố, do đó $k=2^h$
Nên $5^k-1$ chia hết cho $3$ (do $k=2^h$ chẵn) vô lý do $2^{n-1}$ không chia hết cho $3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 31-05-2012 - 18:25


#7 anh qua

anh qua

    Sĩ quan

  • Hiệp sỹ
  • 476 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:huyện Lặng Gió, tỉnh Quan Họ

Đã gửi 31-05-2012 - 18:09

Bài 1: Gợi ý
Giả sử $a^3\le n<(a+1)^3$
Tự xét với $n\le 5$
Với $n\geq 6$ ta xét $(a-3)(a-2)(a-1)a|n$
Ta sẽ chứng minh $(a-3)(a-2)(a-1)a>(a+1)^3$ với $n\geq 6$
Giả sử $n=k$ đúng hay $(k-3)(k-2)(k-1)k>(k+1)^3$
Ta sẽ chứng minh $n=k+1$ hay $(k-2)(k-1)k(k+1)>(k+2)^3$
Thật vậy do $(k-3)(k-2)(k-1)k>(k+1)^3 \rightarrow (k-2)(k-1)k(k+1)>\frac{(k+1)^4}{k-3}$
Ta sẽ chứng minh $\frac{(k+1)^4}{k-3}>(k+2)^3 \leftrightarrow k^3+12k^2+32k+25>0$ đúng
Do đó $n\geq 6$ không đúng, $n<6$ dễ rồi :D

Bài 1 giống bài APMO. nguyenta98ka nên xem lại chỗ anh in đậm.
Còn bài nữa là n chia hết cho tất cả các số không vượt quá căn bậc hai của n - Thi HSG toán 9 Vĩnh Phúc năm ngoái :)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anh qua: 31-05-2012 - 18:12

Give me some sunshine
Give me some rain
Give me another chance
I wanna grow up once again

#8 hxthanh

hxthanh

  • Thành viên
  • 3329 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 31-05-2012 - 18:23

...
Bài 1: Gợi ý
Giả sử $a^3\le n<(a+1)^3$
Tự xét với $n\le 5$
Với $n\geq 6$ ta xét $(a-3)(a-2)(a-1)a|n$
Ta sẽ chứng minh $(a-3)(a-2)(a-1)a>(a+1)^3$ với $n\geq 6$
Giả sử $n=k$ đúng hay $(k-3)(k-2)(k-1)k>(k+1)^3$
Ta sẽ chứng minh $n=k+1$ hay $(k-2)(k-1)k(k+1)>(k+2)^3$
Thật vậy do $(k-3)(k-2)(k-1)k>(k+1)^3 \rightarrow (k-2)(k-1)k(k+1)>\frac{(k+1)^4}{k-3}$
Ta sẽ chứng minh $\frac{(k+1)^4}{k-3}>(k+2)^3 \leftrightarrow k^3+12k^2+32k+25>0$ đúng
Do đó $n\geq 6$ không đúng, $n<6$ dễ rồi :D

Xin lỗi chứ đọc bài giải của em mà tôi chẳng hiểu gì cả! :D
Cuộc sống thật nhàm chán! Ngày mai của ngày hôm qua chẳng khác nào ngày hôm qua của ngày mai, cũng như ngày hôm nay vậy!

#9 anh qua

anh qua

    Sĩ quan

  • Hiệp sỹ
  • 476 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:huyện Lặng Gió, tỉnh Quan Họ

Đã gửi 31-05-2012 - 18:27

Xin lỗi chứ đọc bài giải của em mà tôi chẳng hiểu gì cả! :D

Dạ
Em ý xét $a= [\sqrt[3]{n}]$
rồi xét 4 số $a,a-1,a-2,a-3$ đều chia hết $n$ .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anh qua: 31-05-2012 - 18:28

Give me some sunshine
Give me some rain
Give me another chance
I wanna grow up once again

#10 nguyenta98

nguyenta98

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1259 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Number theory, Combinatorics-number theory problems

Đã gửi 31-05-2012 - 18:39

Ý em nó là như thế này
Bài toán này chỉ đúng với một tập xác định $n$ thôi, đúng là nó hơi khó nói
Ta giả sử $a^3\le n\le (a+1)^3$
Với $a>4$ thì $(a-3)|n,a-2|n,a-1|n,a|n$
Khi đó $BCNN(a-3,a-2,a-1.a)|n$ (do $n$ chia hết cho tất cả các số có lập phương ko vượt quá nó)
Ta sẽ chứng minh $BCNN(a-3.a-2,a-1.a)>(a+1)^3$ dẫn đến vô lý (tại sao lại vô lý, sở dĩ do $BCNN(a-3,a-2,a-1.a)|n \rightarrow n\geq BCNN(a-3,a-2,a-1.a)>(a+1)^3$
Vô lý do $(a+1)^3>n$
Còn việc chứng minh $BCNN(a-3.a-2,a-1.a)>(a+1)^3$ thì đây sẽ đúng với $n\geq k$ với $k$ là một số nào đó, qua thử một vài tập nghiệm tầm thường sau đó suy ra từ $k$ trở lên thì $BCNN(a-3.a-2,a-1.a)>(a+1)^3$, nó đúng do $BCNN(a-3.a-2,a-1.a)$ là bậc 4, còn $(a+1)^3$ bậc 3 nên một lúc nào đó $BCNN(a-3.a-2,a-1.a)>(a+1)^3$

#11 anh qua

anh qua

    Sĩ quan

  • Hiệp sỹ
  • 476 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:huyện Lặng Gió, tỉnh Quan Họ

Đã gửi 31-05-2012 - 19:08

Ý em nó là như thế này
Bài toán này chỉ đúng với một tập xác định $n$ thôi, đúng là nó hơi khó nói
Ta giả sử $a^3\le n\le (a+1)^3$
Với $a>4$ thì $(a-3)|n,a-2|n,a-1|n,a|n$
Khi đó $BCNN(a-3,a-2,a-1.a)|n$ (do $n$ chia hết cho tất cả các số có lập phương ko vượt quá nó)
Ta sẽ chứng minh $BCNN(a-3.a-2,a-1.a)>(a+1)^3$ dẫn đến vô lý (tại sao lại vô lý, sở dĩ do $BCNN(a-3,a-2,a-1.a)|n \rightarrow n\geq BCNN(a-3,a-2,a-1.a)>(a+1)^3$
Vô lý do $(a+1)^3>n$
Còn việc chứng minh $BCNN(a-3.a-2,a-1.a)>(a+1)^3$ thì đây sẽ đúng với $n\geq k$ với $k$ là một số nào đó, qua thử một vài tập nghiệm tầm thường sau đó suy ra từ $k$ trở lên thì $BCNN(a-3.a-2,a-1.a)>(a+1)^3$, nó đúng do $BCNN(a-3.a-2,a-1.a)$ là bậc 4, còn $(a+1)^3$ bậc 3 nên một lúc nào đó $BCNN(a-3.a-2,a-1.a)>(a+1)^3$

Em chặn n sao cho BCNN(a-3,a-2,a-1,a) > a đi! :)
Give me some sunshine
Give me some rain
Give me another chance
I wanna grow up once again

#12 Karl Heinrich Marx

Karl Heinrich Marx

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 322 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 31-05-2012 - 19:28

Problem 2:
Cho $S=\{ 1,2,3,\ldots,2012\}.$ Ta cần phải chia $S$ thành 2 tập rời nhau sao cho cả 2 tập đều không chứa những bộ 2 số có tổng là lũy thừa của $2$. Tìm số lượng các tập như vậy.

Chính xác phải là tìm số cách chia như vậy.
Ta có các nhận xét sau:
Nhận xét 1: Nếu $v_2(m) \ne v_2(n)$ thì $m+n$ không thể là lũy thừa của 2.
Ta có $2^{10}<2012<2^{11}$, chia tập S thành 10 tập $A_i={x|v_2(x)=i}$ với $i \in {0;1;...;10}$. Cách phân hoạch tập S sẽ là hợp của phân hoạch các tập $A_i$.
Nhận xét 2: Các tập $A_i$ phân hoạch không phụ thuộc vào nhau. Cái này suy ra từ nhận xét 1.
Nhận xét 3: Trong mỗi tập $A_i$ ta có đúng 1 cách phân hoạch thành 2 tập thỏa đề bài.
Thật vậy các phần tử thuộc $A_i$ có dạng $2^{i}.r$ với $r$ là số lẻ không vượt quá $[\frac{2012}{2^{i}}]$.
Không mất tính tổng quát giả sử $2^{i}$ thuộc tập 1 thì $2^{i}.3$ thuộc tập 2. Giả sử ta chỉ có đúng 1 cách phân hoạch đến số $2^{i}.(2k+1)$. Gọi $m$ là số thỏa mãn $2^{m} \le k+1<2^{m+1}$ thì vì $2^{i+m+2}-2^{i}.(2k+3)<2^{i}.(2k+3)$ nên vị trí của $2^{i+m+2}-2^{i}.(2k+3)$ đã được xác định nên cách phân hoạch $2^{i}.(2k+3)$ là duy nhất. Từ đó ta quy nạp được theo $k$ tính chất này. Do đó cách phân hoạch tập $A_i$ phụ thuộc vào $2^{i}$ và được xác định duy nhất.
Từ những nhận xét trên ta suy ra là số cách phân hoạch S chính bằng số cách phân hoạch các số $1,2,2^{2},...,2^{10}$ thành 2 tập. Tức là bằng số tập con của 1 tập có 11 phần tử là bằng 2^{11}.

#13 nguyenta98

nguyenta98

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1259 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Number theory, Combinatorics-number theory problems

Đã gửi 31-05-2012 - 19:35

Ý em nó là như thế này
Bài toán này chỉ đúng với một tập xác định $n$ thôi, đúng là nó hơi khó nói
Ta giả sử $a^3\le n\le (a+1)^3$
Với $a>4$ thì $(a-3)|n,a-2|n,a-1|n,a|n$
Khi đó $BCNN(a-3,a-2,a-1.a)|n$ (do $n$ chia hết cho tất cả các số có lập phương ko vượt quá nó)
Ta sẽ chứng minh $BCNN(a-3.a-2,a-1.a)>(a+1)^3$ dẫn đến vô lý (tại sao lại vô lý, sở dĩ do $BCNN(a-3,a-2,a-1.a)|n \rightarrow n\geq BCNN(a-3,a-2,a-1.a)>(a+1)^3$
Vô lý do $(a+1)^3>n$
Còn việc chứng minh $BCNN(a-3.a-2,a-1.a)>(a+1)^3$ thì đây sẽ đúng với $n\geq k$ với $k$ là một số nào đó, qua thử một vài tập nghiệm tầm thường sau đó suy ra từ $k$ trở lên thì $BCNN(a-3.a-2,a-1.a)>(a+1)^3$, nó đúng do $BCNN(a-3.a-2,a-1.a)$ là bậc 4, còn $(a+1)^3$ bậc 3 nên một lúc nào đó $BCNN(a-3.a-2,a-1.a)>(a+1)^3$



#14 Karl Heinrich Marx

Karl Heinrich Marx

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 322 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 31-05-2012 - 21:47

Ý em nó là như thế này
Bài toán này chỉ đúng với một tập xác định $n$ thôi, đúng là nó hơi khó nói
Ta giả sử $a^3\le n\le (a+1)^3$
Với $a>4$ thì $(a-3)|n,a-2|n,a-1|n,a|n$
Khi đó $BCNN(a-3,a-2,a-1.a)|n$ (do $n$ chia hết cho tất cả các số có lập phương ko vượt quá nó)
Ta sẽ chứng minh $BCNN(a-3.a-2,a-1.a)>(a+1)^3$ dẫn đến vô lý (tại sao lại vô lý, sở dĩ do $BCNN(a-3,a-2,a-1.a)|n \rightarrow n\geq BCNN(a-3,a-2,a-1.a)>(a+1)^3$
Vô lý do $(a+1)^3>n$
Còn việc chứng minh $BCNN(a-3.a-2,a-1.a)>(a+1)^3$ thì đây sẽ đúng với $n\geq k$ với $k$ là một số nào đó, qua thử một vài tập nghiệm tầm thường sau đó suy ra từ $k$ trở lên thì $BCNN(a-3.a-2,a-1.a)>(a+1)^3$, nó đúng do $BCNN(a-3.a-2,a-1.a)$ là bậc 4, còn $(a+1)^3$ bậc 3 nên một lúc nào đó $BCNN(a-3.a-2,a-1.a)>(a+1)^3$

Sai rồi em ạ, $7^3<420<8^3$ đây là một số thỏa đề bài. Bài em làm sai ở chỗ $BCNN(a-3,a-2,a-1,a)=\frac{(a-3)(a-2)(a-1)a}{6}$ em cần chỉnh lại số để bđt được đúng hơn.

#15 nguyenta98

nguyenta98

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1259 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Number theory, Combinatorics-number theory problems

Đã gửi 31-05-2012 - 22:53

Thôi thì thế này vậy, em xin post lời giải hoàn chình
Ta có số $420$ là thỏa mãn, với $n<420$ thì nhận thấy $a^3\le n\le (a+1)^3$ do đó $a^3\le 420 \rightarrow a\le 7$
Nếu $a=7 \rightarrow n=420$ (do $420=BCNN(1,2,3,4,5,6,7)$)
Nếu $a=6,5,4,3,2,1$ xét tương tự
Giả sử $n>420$ và thỏa đề, và giả sử $a^3 \le n\le (a+1)^3$
Ta đã chứng minh ở trên rằng $BCNN(a-3,a-2,a-1,a)|n$
Măt khác ta có BDT sau (dễ chứng minh)
$$BCNN(a-3,a-2,a-1.a)\geq \dfrac{(a-3)(a-2)(a-1)a}{6}$$
Mà ta giả sử rằng $n\le (a+1)^3$
Suy ra
$\dfrac{(a-3)(a-2)(a-1)a}{6}\le (a+1)^3$
Nhưng dễ thấy $\sqrt[3]{n}>7$ (do $n>420$) suy ra $420|n \rightarrow n\geq 2.420$ (do $n>420$) suy ra $\sqrt[3]{n}\geq 9$
Vì $\sqrt[3]{n}\geq 9 \rightarrow 2520|n \rightarrow a\geq 13$
Như vậy dễ dàng chứng minh $\dfrac{(a-3)(a-2)(a-1)a}{6}>(a+1)^3$ với mọi $a\geq 13$
Do đó điều giả sử sai hay $n>420$ không thỏa mãn
Do đó chỉ có $n\le 420$ là thỏa mãn, và chú ý rằng $n=BCNN(1,2,3,...,a)$ nên từ đó tìm được $n$

Mod xóa hộ em bài trước em post sai

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 31-05-2012 - 22:57


#16 toanhoc2017

toanhoc2017

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1021 Bài viết

Đã gửi 16-02-2020 - 12:25

tuyệt 






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh