Ai giúp dùm em bài này với:
Tìm tất cả các số tự nhiên không thể biểu diễn thành tổng của một vài số tự nhiên liên tiếp.
Tìm tất cả các số tự nhiên không thể biểu diễn thành tổng của một vài số tự nhiên liên tiếp.
Bắt đầu bởi haku139, 31-05-2012 - 00:51
#1
Đã gửi 31-05-2012 - 00:51
- cool hunter yêu thích
#2
Đã gửi 01-06-2012 - 20:31
Giải như sau:Ai giúp dùm em bài này với:
Tìm tất cả các số tự nhiên không thể biểu diễn thành tổng của một vài số tự nhiên liên tiếp.
Gọi số tự nhiên đó là $n$ khi đó ($a\geq 0$)
$$n=(a+k)+(a+k-1)+...+(a+1)$$
$$\rightarrow n=\dfrac{(2a+k+1).k}{2}$$
TH1: $n$ lẻ suy ra $n=2t+1 \rightarrow n=t+(t+1)$ do đó thỏa mãn là tổng của một vài số tự nhiên liên tiếp $\rightarrow \text{Loại}$
TH2: $n$ chẵn suy ra $n=2^x.l$ với $l$ lẻ
Do đó $2^{x+1}.l=(2a+k+1)k$
Th1 nhỏ: $\dfrac{l}{t}>2^{x+1}.t<1>$ thì ta chọn $k=2^{x+1}.t$ và $2a+k+1=\dfrac{l}{t}$ suy ra
$$2a+k+1-k-1=\dfrac{l}{t}-2^{x+1}.t-1=2a \rightarrow a=\dfrac{\dfrac{l}{t}-2^{x+1}.t-1}{2}$$
Vì theo $<1>$ suy ra $\dfrac{\dfrac{l}{t}-2^{x+1}.t-1}{2}\geq 0$ nên $a$ tồn tại do $a\geq 0$ như vậy $n$ biểu diễn được dưới dạng $\dfrac{(2a+k+1)k}{2}$ nên biểu diễn được thành tổng các số tự nhiên liên tiếp $\rightarrow \text{Loại}$
Th2 nhỏ: $\dfrac{l}{t}<2^{x+1}.t<2>$ khi đó ta chọn $k=\dfrac{l}{t}$ và $2a+k+1=2^{x+1}.t$
Tương tự $2a+k+1-k-1=2^{x+1}.t-\dfrac{l}{t}-1=2a \rightarrow a=\dfrac{2^{x+1}.t-\dfrac{l}{t}-1}{2}$ và do $<2>$ nên $\dfrac{2^{x+1}.t-\dfrac{l}{t}-1}{2}\geq 0$ nên tồn tại $a$ do $a\geq 0$ như vậy $n$ biểu diễn được dưới dạng $\dfrac{(2a+k+1)k}{2}$ nên biểu diễn được thành tổng các số tự nhiên liên tiếp $\rightarrow \text{Loại}$
Cả hai trường hợp đã chỉ ra rằng với $l>1$ thì $n$ đều có thể biểu diễn được dạng tổng các số tự nhiên liên tiếp
Do vâỵ để không biểu diễn được thì $l=1$ vì nếu $l>1, l$ lẻ thì $l$ sẽ có ít nhất một ước nguyên tố lẻ, giả sử ước đó là $p$ khi đó ta chọn $t=p$ và $n$ đều có thể biến đổi được thành tổng các số tự nhiên liên tiếp như hai TH nhỏ trên đã chứng minh
Do đó $n=2^{x}$
Vậy các số cần tìm là $\boxed{2^x}$ với $x>0$ là các số không thể biểu diễn được tổng các số tự nhiên liên tiếp
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 01-06-2012 - 20:47
- perfectstrong, cool hunter, Dung Dang Do và 3 người khác yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh