Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm tất cả các số tự nhiên không thể biểu diễn thành tổng của một vài số tự nhiên liên tiếp.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
haku139

haku139

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 12 Bài viết
Ai giúp dùm em bài này với:
Tìm tất cả các số tự nhiên không thể biểu diễn thành tổng của một vài số tự nhiên liên tiếp.

#2
nguyenta98

nguyenta98

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1259 Bài viết

Ai giúp dùm em bài này với:
Tìm tất cả các số tự nhiên không thể biểu diễn thành tổng của một vài số tự nhiên liên tiếp.

Giải như sau:
Gọi số tự nhiên đó là $n$ khi đó ($a\geq 0$)
$$n=(a+k)+(a+k-1)+...+(a+1)$$
$$\rightarrow n=\dfrac{(2a+k+1).k}{2}$$
TH1: $n$ lẻ suy ra $n=2t+1 \rightarrow n=t+(t+1)$ do đó thỏa mãn là tổng của một vài số tự nhiên liên tiếp $\rightarrow \text{Loại}$
TH2: $n$ chẵn suy ra $n=2^x.l$ với $l$ lẻ
Do đó $2^{x+1}.l=(2a+k+1)k$
Th1 nhỏ: $\dfrac{l}{t}>2^{x+1}.t<1>$ thì ta chọn $k=2^{x+1}.t$ và $2a+k+1=\dfrac{l}{t}$ suy ra
$$2a+k+1-k-1=\dfrac{l}{t}-2^{x+1}.t-1=2a \rightarrow a=\dfrac{\dfrac{l}{t}-2^{x+1}.t-1}{2}$$
Vì theo $<1>$ suy ra $\dfrac{\dfrac{l}{t}-2^{x+1}.t-1}{2}\geq 0$ nên $a$ tồn tại do $a\geq 0$ như vậy $n$ biểu diễn được dưới dạng $\dfrac{(2a+k+1)k}{2}$ nên biểu diễn được thành tổng các số tự nhiên liên tiếp $\rightarrow \text{Loại}$
Th2 nhỏ: $\dfrac{l}{t}<2^{x+1}.t<2>$ khi đó ta chọn $k=\dfrac{l}{t}$ và $2a+k+1=2^{x+1}.t$
Tương tự $2a+k+1-k-1=2^{x+1}.t-\dfrac{l}{t}-1=2a \rightarrow a=\dfrac{2^{x+1}.t-\dfrac{l}{t}-1}{2}$ và do $<2>$ nên $\dfrac{2^{x+1}.t-\dfrac{l}{t}-1}{2}\geq 0$ nên tồn tại $a$ do $a\geq 0$ như vậy $n$ biểu diễn được dưới dạng $\dfrac{(2a+k+1)k}{2}$ nên biểu diễn được thành tổng các số tự nhiên liên tiếp $\rightarrow \text{Loại}$
Cả hai trường hợp đã chỉ ra rằng với $l>1$ thì $n$ đều có thể biểu diễn được dạng tổng các số tự nhiên liên tiếp
Do vâỵ để không biểu diễn được thì $l=1$ vì nếu $l>1, l$ lẻ thì $l$ sẽ có ít nhất một ước nguyên tố lẻ, giả sử ước đó là $p$ khi đó ta chọn $t=p$ và $n$ đều có thể biến đổi được thành tổng các số tự nhiên liên tiếp như hai TH nhỏ trên đã chứng minh
Do đó $n=2^{x}$
Vậy các số cần tìm là $\boxed{2^x}$ với $x>0$ là các số không thể biểu diễn được tổng các số tự nhiên liên tiếp

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 01-06-2012 - 20:47





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh