Chắc hẳn các bạn yêu bất đẳng thức đều biết đến bài toán nổi tiếng sau đây của Vasile Cirtoaje. $$(a^2+b^2+c^2)^2\ge3(a^3b+b^3c+c^3a),$$ với $a,b,c$ là các số thực bất kỳ.
Có thể nói đây là một bài toán rất khó và vì thế những lời giải của nó cũng rất không "bình thường" và khó có thể nghĩ ra, trên diễn đàn toán học Mathlinks.ro anh Cẩn đã khẳng định rằng bài toán này có thể giải bằng Cauchy-Schwarz nhưng chưa công bố lời giải đó, mấy hôm trước mình cũng đã tìm được lời giải cho bài toán này bằng Cauchy-Schwarz kết hợp với AM-GM, không biết các bạn có bạn nào có lời giải mới cho bài toán này không ?
Mình làm thế này không biết có đúng không, mong mọi người góp ý.
Đặt $b=a+x, c=a+y$ khi đó bất đẳng thức đã cho tương đương với:
$f(a,x,y)=(x^2-xy+y^2)a^2+(x^3-5x^2y+axy^2+y^3)a+x^4-3x^3y+2x^2y^2+y^4\geq 0$
Dễ thấy đây là một tam thức bậc hai của $a$ với hệ số cao nhất không dương.
Ta có:
$\Delta _{f}=(x^3-5x^2y+4xy^2+y^3)^2-4(x^2-xy+y^2)(x^4-3x^3y+2x^2y^2+y^4)=-3(x^3-x^2y-2xy^2+y^3)^2\leq 0$
nên hiển nhiên $f(a,x,y)\geq 0$ và bài toán được chứng minh
Edited by yellow, 01-10-2012 - 17:02.