Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * * * 3 Bình chọn

Một lời giải bằng Cauchy-Schwarz


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 17 trả lời

#1 Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 31-05-2012 - 18:07

Chắc hẳn các bạn yêu bất đẳng thức đều biết đến bài toán nổi tiếng sau đây của Vasile Cirtoaje. $$(a^2+b^2+c^2)^2\ge3(a^3b+b^3c+c^3a),$$ với $a,b,c$ là các số thực bất kỳ.
Có thể nói đây là một bài toán rất khó và vì thế những lời giải của nó cũng rất không "bình thường" và khó có thể nghĩ ra, trên diễn đàn toán học Mathlinks.ro anh Cẩn đã khẳng định rằng bài toán này có thể giải bằng Cauchy-Schwarz nhưng chưa công bố lời giải đó, mấy hôm trước mình cũng đã tìm được lời giải cho bài toán này bằng Cauchy-Schwarz kết hợp với AM-GM, không biết các bạn có bạn nào có lời giải mới cho bài toán này không ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anh qua: 31-05-2012 - 18:15

Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport

#2 anh qua

anh qua

    Sĩ quan

  • Hiệp sỹ
  • 476 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:huyện Lặng Gió, tỉnh Quan Họ

Đã gửi 31-05-2012 - 18:25

Chắc hẳn các bạn yêu bất đẳng thức đều biết đến bài toán nổi tiếng sau đây của Vasile Cirtoaje. $$(a^2+b^2+c^2)^2\ge3(a^3b+b^3c+c^3a),$$ với $a,b,c$ là các số thực bất kỳ.
Có thể nói đây là một bài toán rất khó và vì thế những lời giải của nó cũng rất không "bình thường" và khó có thể nghĩ ra, trên diễn đàn toán học Mathlinks.ro anh Cẩn đã khẳng định rằng bài toán này có thể giải bằng Cauchy-Schwarz nhưng chưa công bố lời giải đó, mấy hôm trước mình cũng đã tìm được lời giải cho bài toán này bằng Cauchy-Schwarz kết hợp với AM-GM, không biết các bạn có bạn nào có lời giải mới cho bài toán này không ?

Anh Huyện công bố đi ạ!
Em mới chỉ biết đến mấy cái tổng bình phưong đối với bài toán rất mạnh này :)
@NguyenHuyenj_AG: EM là một mem cũ của VIMF. :)
Give me some sunshine
Give me some rain
Give me another chance
I wanna grow up once again

#3 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2937 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 31-05-2012 - 19:54

Không biết cái này phải không ạ!
Sử dụng BĐT quen thuộc $(x+y+z)^2 \ge 3(xy+yz+zx)$ với $x=a^2+bc-ab;y=b^2+ca-bc;z=c^2+ab-ca$,chúng ta thu được:
$$\[\sum (a^2+bc-ab)]^2 \ge 3\sum (a^2+bc-ab)(b^2+ca-bc)$$
Bằng cách khai triển trực tiếp,ta thu được:
$$\sum (a^2+bc-ab)=a^2+b^2+c^2$$
$$\sum (a^2+bc-ab)(b^2+ca-bc)=a^3b+b^3c+c^3a$$
Như vậy,ta có:
$$(a^2+b^2+c^2)^2 \ge 3(a^3b+b^3c+c^3a)$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bboy114crew: 31-05-2012 - 21:57

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#4 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2937 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 31-05-2012 - 20:10

Nhờ mod del dùm cái post trên nhé.
Mới tìm được 1 lời giải khá khủng cho bài này
Hình đã gửi
Hình đã gửi
►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#5 NguyThang khtn

NguyThang khtn

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1465 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1 K46 Tổng hợp

Đã gửi 31-05-2012 - 22:00

Không biết cái này phải không ạ!
Sử dụng BĐT quen thuộc $(x+y+z)^2 \ge 3(xy+yz+zx)$ với $x=a^2+bc-ab;y=b^2+ca-bc;z=c^2+ab-ca$,chúng ta thu được:
$$\[\sum (a^2+bc-ab)]^2 \ge 3\sum (a^2+bc-ab)(b^2+ca-bc)$$
Bằng cách khai triển trực tiếp,ta thu được:
$$\sum (a^2+bc-ab)=a^2+b^2+c^2$$
$$\sum (a^2+bc-ab)(b^2+ca-bc)=a^3b+b^3c+c^3a$$
Như vậy,ta có:
$$(a^2+b^2+c^2)^2\ge 3(a^3b+b^3c+c^3a)$$

Từ trước tới giờ mình cũng chỉ biết bài toán này với các phân tích bình phương cũng chưa từng thử xem có lời giải cổ điển cho bài toán này không ngờ!
Nhưng theo mình lời giải này đâu đó cũng bắt nguồn từ những ý tưởng phân tích kia(ý mình là mấy đại lượng).

It is difficult to say what is impossible, for the dream of yesterday is the hope of today and the reality of tomorrow

 

94e8dcf4f558448c8c8e808278c0c65e.0.gif


#6 Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 03-06-2012 - 15:52

Lời giải của nó bằng Cauchy-Schwarz không dựa vào mấy cái tổng bình phương, mình đang soạn lời giải đó, ít hôm nữa thi học kỳ xong mình sẽ gửi lên.
Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport

#7 viet 1846

viet 1846

    Gà con

  • Thành viên
  • 224 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TH Lê Văn Tám

Đã gửi 03-06-2012 - 20:12

Từ trước tới giờ mình cũng chỉ biết bài toán này với các phân tích bình phương cũng chưa từng thử xem có lời giải cổ điển cho bài toán này không ngờ!
Nhưng theo mình lời giải này đâu đó cũng bắt nguồn từ những ý tưởng phân tích kia(ý mình là mấy đại lượng).


Theo chú Tạ Hồng Quảng thì đây chỉ là cách mà ông Vasile Cirtoaje chế ra bài này, nhưng không ngờ nó lại khó và trở nên nổi tiếng như vậy. :D

#8 Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 03-06-2012 - 20:48

Theo chú Tạ Hồng Quảng thì đây chỉ là cách mà ông Vasile Cirtoaje chế ra bài này, nhưng không ngờ nó lại khó và trở nên nổi tiếng như vậy. :D



Theo mình thì không phải như vậy, lời giải của Vasile lúc đầu chỉ dùng tam thức bậc hai, phương pháp dùng $(x+y+z)^2\ge 3(xy+yz+zx)$ sau này mới thấy xuất hiện.
Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport

#9 KH1

KH1

    Lính mới

  • Thành viên
  • 3 Bài viết

Đã gửi 03-06-2012 - 21:25

Thật không ngờ bài toán này lại có thể giải được bằng $AM-GM+Cauchy-schwarz$ vì dấu bằng quá lệnh nhau.
Tiện đây cho mình hỏi bài toán:
Liệu có tồn tại $k$ để BDT sau đúng với mọi $a;b;c \ge 0$ và dấu bằng đạt tại$a=b=c$ hoặc $(a;b;c)=n(sin^2\dfrac{4\pi}{7};sin^2\dfrac{2\pi}{7};sin^2\dfrac{\pi}{7})$(Giống của Vasile đó)
$$ k(a+b+c)^3 \geq (a^2b+b^2c+c^2a+abc)$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KH1: 03-06-2012 - 21:31

  • NLT yêu thích

#10 alex_hoang

alex_hoang

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1152 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hanoi University of Pharmacy
  • Sở thích:MANCHSTER UNITED

Đã gửi 04-06-2012 - 11:17

Thật không ngờ bài toán này lại có thể giải được bằng $AM-GM+Cauchy-schwarz$ vì dấu bằng quá lệnh nhau.
Tiện đây cho mình hỏi bài toán:
Liệu có tồn tại $k$ để BDT sau đúng với mọi $a;b;c \ge 0$ và dấu bằng đạt tại$a=b=c$ hoặc $(a;b;c)=n(sin^2\dfrac{4\pi}{7};sin^2\dfrac{2\pi}{7};sin^2\dfrac{\pi}{7})$(Giống của Vasile đó)
$$ k(a+b+c)^3 \geq (a^2b+b^2c+c^2a+abc)$$

Mình nghĩ đây là một bài không khó mặc dù hình như nó không có dấu bằng tạo $(a;b;c)=n(sin^2\dfrac{4\pi}{7};sin^2\dfrac{2\pi}{7};sin^2\dfrac{\pi}{7})$
Ta có
\[\frac{4}{{27}}{(x + y + z)^3} \ge {x^2}y + {y^2}z + {z^2}x + xyz\]
Chúng ta không nên bàn những vấn đề khác trong chủ đề này nhé.Hãy chờ anh Huyện đưa ra lời giải bằng $cauchy-Schwarz$ .Mình mong chờ quá :)
alex_hoang


HẸN NGÀY TRỞ LẠI VMF THÂN MẾN

http://www.scribd.co...oi-Ban-Cung-The

#11 Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 05-06-2012 - 00:42

Đây là lời giải, các bạn đọc thấy có lỗi gì thì pm lại cho mình chỉnh sửa nhé, cám ơn. Giờ thì đi ngủ đây gần 1h sáng rồi.
http://mathifc.wordp...ritish-mo-1986/
Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport

#12 alex_hoang

alex_hoang

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1152 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hanoi University of Pharmacy
  • Sở thích:MANCHSTER UNITED

Đã gửi 05-06-2012 - 07:29

Cảm ơn anh Huyện ,em xin phép up tài liệu nên diễn đàn để các mem nhà ta dễ download

File gửi kèm


alex_hoang


HẸN NGÀY TRỞ LẠI VMF THÂN MẾN

http://www.scribd.co...oi-Ban-Cung-The

#13 Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 05-06-2012 - 11:57

Mình đã chỉnh sửa lại bài viết, các bạn tải lại nhé, cũng không khác mấy bài viết lúc đầu nhiều lắm.
http://mathifc.wordp...ritish-mo-1986/
Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport

#14 anh qua

anh qua

    Sĩ quan

  • Hiệp sỹ
  • 476 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:huyện Lặng Gió, tỉnh Quan Họ

Đã gửi 15-06-2012 - 12:31

Mình đã chỉnh sửa lại bài viết, các bạn tải lại nhé, cũng không khác mấy bài viết lúc đầu nhiều lắm.
http://mathifc.wordp...ritish-mo-1986/

A nice article!
Chúc anh Huyện thành công!
:)
Give me some sunshine
Give me some rain
Give me another chance
I wanna grow up once again

#15 yellow

yellow

    Sĩ quan

  • Pre-Member
  • 371 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Mỹ Châu

Đã gửi 01-10-2012 - 17:02

Chắc hẳn các bạn yêu bất đẳng thức đều biết đến bài toán nổi tiếng sau đây của Vasile Cirtoaje. $$(a^2+b^2+c^2)^2\ge3(a^3b+b^3c+c^3a),$$ với $a,b,c$ là các số thực bất kỳ.
Có thể nói đây là một bài toán rất khó và vì thế những lời giải của nó cũng rất không "bình thường" và khó có thể nghĩ ra, trên diễn đàn toán học Mathlinks.ro anh Cẩn đã khẳng định rằng bài toán này có thể giải bằng Cauchy-Schwarz nhưng chưa công bố lời giải đó, mấy hôm trước mình cũng đã tìm được lời giải cho bài toán này bằng Cauchy-Schwarz kết hợp với AM-GM, không biết các bạn có bạn nào có lời giải mới cho bài toán này không ?

Mình làm thế này không biết có đúng không, mong mọi người góp ý.

Đặt $b=a+x, c=a+y$ khi đó bất đẳng thức đã cho tương đương với:
$f(a,x,y)=(x^2-xy+y^2)a^2+(x^3-5x^2y+axy^2+y^3)a+x^4-3x^3y+2x^2y^2+y^4\geq 0$
Dễ thấy đây là một tam thức bậc hai của $a$ với hệ số cao nhất không dương.
Ta có:
$\Delta _{f}=(x^3-5x^2y+4xy^2+y^3)^2-4(x^2-xy+y^2)(x^4-3x^3y+2x^2y^2+y^4)=-3(x^3-x^2y-2xy^2+y^3)^2\leq 0$
nên hiển nhiên $f(a,x,y)\geq 0$ và bài toán được chứng minh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi yellow: 01-10-2012 - 17:02


$\large{\int_{0}^{\infty }xdx<\heartsuit}$

#16 yellow

yellow

    Sĩ quan

  • Pre-Member
  • 371 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Mỹ Châu

Đã gửi 01-10-2012 - 17:36

Không biết cái này phải không ạ!
Sử dụng BĐT quen thuộc $(x+y+z)^2 \ge 3(xy+yz+zx)$ với $x=a^2+bc-ab;y=b^2+ca-bc;z=c^2+ab-ca$,chúng ta thu được:
$$\[\sum (a^2+bc-ab)]^2 \ge 3\sum (a^2+bc-ab)(b^2+ca-bc)$$
Bằng cách khai triển trực tiếp,ta thu được:
$$\sum (a^2+bc-ab)=a^2+b^2+c^2$$
$$\sum (a^2+bc-ab)(b^2+ca-bc)=a^3b+b^3c+c^3a$$
Như vậy,ta có:
$$(a^2+b^2+c^2)^2 \ge 3(a^3b+b^3c+c^3a)$$


Có thể kiểm tra được hằng đẳng thức sau:
$4(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)[(a^2+b^2+c^2)^2-3(a^3b+b^3c+c^3a)]$
$[(a^3+b^3+c^3)-5(a^2b+b^2c+c^2a)+4(ab^2+bc^2+ca^2)]^2+3[(a^3+b^3+c^3)-(a^2b+b^2c+c^2a)-2(ab^2+bc^2+ca^2)+6abc]^2\geq 0$
Từ hằng đẳng thức này, ta có thể suy ra ngay kết quả cần chứng minh./.

$\large{\int_{0}^{\infty }xdx<\heartsuit}$

#17 hthang0030

hthang0030

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 175 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 24-04-2016 - 10:10

Bài này hay thật -.- Anh up lời giải đi


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hthang0030: 24-04-2016 - 10:19


#18 Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 24-04-2016 - 13:45

Bài này hay thật -.- Anh up lời giải đi

 

Em xem ở đây: http://diendantoanho...g-thức-bậc-bốn/


Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport




2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh