Chủ đề này có 6 trả lời

[henry0905]

x,y >0 và $x^{2}+y^{2}=1$
Tìm P_MIN= $x^{3}+y^{3}$

[NLT]

x,y >0 và $x^{2}+y^{2}=1$
Tìm P_MIN= $x^{3}+y^{3}$

Bài này có khá nhiều cách giải, đây là 1 trong những cách đó !
Solution:
Áp dụng AM-GM:
${x^3} + {x^3} + 1 \ge 3\sqrt[3]{{{x^3}.{x^3}.1}} \Leftrightarrow 2{x^3} \ge 3{x^2} - 1$
Tương tự: $2{y^3} \ge 3{y^2} - 1$
Suy ra: ${x^3} + {y^3} \ge 2$
Vậy $Min P = 2$ khi $x=y=1$
Bài toán kết thúc ...
___

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 31-05-2012 - 22:55

[NLT]

P/S: Cách 2 là sử dụng Holder cho 3 bộ số, trong đó có 2 bộ $(x^3+y^3)$ và 1 bộ $(1;1)$ sẽ cho ngay kết quả.
___

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 31-05-2012 - 22:57

[henry0905]

Bài này có khá nhiều cách giải, đây là 1 trong những cách đó !
Solution:
Áp dụng AM-GM:
${x^3} + {x^3} + 1 \ge 3\sqrt[3]{{{x^3}.{x^3}.1}} \Leftrightarrow 2{x^3} \ge 3{x^2} - 1$
Tương tự: $2{y^3} \ge 3{y^2} - 1$
Suy ra: ${x^3} + {y^3} \ge 2$
Vậy $Min P = 2$ khi $x=y=1$
Bài toán kết thúc ...
___

x=y=1 có thỏa x² +y² =1??

[vietfrog]

Máy giờ vào Diễn đàn khó quá. Nhìn cứ bị to. .
Gợi ý:
Dạng như thế này nên đặt $S=x+y$; $p=xy$.
Có thể tìm được cả Min và Max.
Khi đó biểu thức thu được là :
\[A = {x^3} + {y^3} = \left( {x + y} \right)\left( {{x^2} + {y^2} - xy} \right) = S\left( {{S^2} - 3P} \right)\]
Với điều kiện $x,y>0$ thì ta luôn có: ${S^2} \ge 4p$. Kết hợp với điều kiện ta sẽ có được Min; Max.

[davildark]

Thịnh làm sai rùi
Lời giải đúng
Áp dụng Cauchy-schwarz
$$(x^3+y^3)(x+y)\geq (x^2+y^2)^2\Rightarrow x^3+y^3\geq \frac{(x^2+y^2)^2}{x+y}=\frac{1}{x+y}$$
Mặt khác ta có
$$x+y\leq \sqrt{2(x^2+y^2)}=\sqrt{2}$$
$$\Rightarrow x^3+y^3\geq \frac{1}{\sqrt{2}}$$
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi davildark: 31-05-2012 - 23:09

[catbuilts]

Bạn Thịnh làm nhầm thôi (chắc nhầm giả thiết $x+y=2$ nên chọn dấu = sai), ý tưởng hoàn toàn đúng.
Dấu = khi $x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}$ nên chèn $\left (\frac{1}{\sqrt{2}} \right )^{3}$ vào (để dấu = xảy ra dc)
$x^3+x^3+\left ( \frac{1}{\sqrt{2}} \right )^3\geqslant \frac{3}{\sqrt{2}}x^2$
Tương tự cho y, rồi cộng lại.