Chủ đề này có 1 trả lời

[CaptainAmerica]

Cho phương trình $x^2-20x-8=0$. Gọi $a$, $b$ là nghiệm của phương trình đã cho ( với $a>b$). Tính giá trị của biểu thức
$$M=\frac{a}{\sqrt[3]{b}}+\frac{b}{\sqrt[3]{a}}$$
*( mẫu là căn bậc 3 nhe ... ). Các bạn dùng Viète để giải bài này!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 03-06-2012 - 13:52

[L Lawliet]

Cho phương trình $x^2-20x-8=0$. Gọi $a$, $b$ là nghiệm của phương trình đã cho ( với $a>b$). Tính giá trị của biểu thức
$$M=\frac{a}{\sqrt[3]{b}}+\frac{b}{\sqrt[3]{a}}$$
*( mẫu là căn bậc 3 nhe ... ). Các bạn dùng Viète để giải bài này!

Vì phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt $a$, $b$ nên theo hệ thức Viete ta có:
$$\left\{\begin{matrix} a+b=20 & & \\ab=-8 & & \end{matrix}\right.$$
Biến đổi $M$:
$$M=\frac{a}{\sqrt[3]{b}}+\frac{b}{\sqrt[3]{a}}=\frac{\sqrt[3]{a^4}+\sqrt[3]{b^4}}{\sqrt[3]{ab}}$$
Bây giờ ta sẽ tính $\sqrt[3]{a^4}+\sqrt[3]{b^4}$
Đặt $A=\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{b^2}$
$\Rightarrow A^3=(\sqrt[3]{a^4}+\sqrt[3]{b^4})^3$
$\Leftrightarrow A^3=a^4+b^4+3\sqrt[3]{a^4b^4}A=((a+b)^2-2ab)^2-2a^2b^2+3\sqrt[3]{a^2b^2}A$
$\Leftrightarrow A^3=172928+48A$
Phương trình này có nghiệm duy nhất $A=56$
Vậy ta tính được $M$ như sau:
$$M=\frac{\sqrt[3]{a^4}+\sqrt[3]{b^4}}{\sqrt[3]{ab}}=\frac{A}{\sqrt[3]{-8}}=\frac{56}{-8}=-7$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 03-06-2012 - 18:38