Chủ đề này có 1 trả lời

[Dung Dang Do]

Cho 2005 số dương $x_1,...,x_{2005}$ thoã mãn
$$\left\{\begin{matrix} x_1^2+x_2^2\le x_2-x_1 & \\ x_2^2+x_3^2\le x_3-x_2 & \\ .......................... & \\ x_{2003}^2+x_{2004}^2\le x_{2004}-x_{2003} & \\ x_{2004}^2+x_{2005}^2\le x_{2005}-x_{2004} & \end{matrix}\right.$$
Chứng minh rằng trong 2005 số đó có 2 số x,y sao cho $|x-y|\le \frac{1}{2.10^3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dung Dang Do: 02-06-2012 - 10:22

[trinhhoangdung123456]

Cho 2005 số dương $x_1,...,x_{2005}$ thoã mãn
$$\left\{\begin{matrix} x_1^2+x_2^2\le x_2-x_1 & \\ x_2^2+x_3^2\le x_3-x_2 & \\ .......................... & \\ x_{2003}^2+x_{2004}^2\le x_{2004}-x_{2003} & \\ x_{2004}^2+x_{2005}^2\le x_{2005}-x_{2004} & \end{matrix}\right.$$
Chứng minh rằng trong 2005 số đó có 2 số x,y sao cho $|x-y|\le \frac{1}{2.10^3}$

            Trước hết ta nhận thấy, nếu x, y là cac số thực dương thỏa mãn $x^{2}+y^{2}\leq x-y$ thì ta có:

                      $x^{2}< x^{2}+y^{2}\leq x-y$.

            Do đó x<1. Từ giả thiết ta suy ra:

                      $0<x_{1}<x_{2}< . . . <x_{2005}<1$

            Chú ý, $x_{2}-x_{1}$, $x_{3}-x_{2}$, ...,$x_{2005}-x_{2004}$ là 2004 số thực dương có tổng bằng $x_{2005}-x_{1}<x_{2005}<1$

            Suy ra tồn tại i thuộc {1;2; . . .; 2004 } mà $x_{i+1}-x_{i}<\frac{1}{2004}<\frac{1}{2000}$

            Như vậy khẳng định của bài toán đã được chứng minh.

            Ngoài ra ta còn có thể dùng nguyên lí Dirichlet để chứng minh.

              Ta chia (0;1) thành 2004 khoảng ($0;\frac{1}{2004}$); ($\frac{1}{2004};\frac{2}{2004}$); . . .; ($\frac{2003}{2004};1$)

               Theo nguyên lí Dirichlet, tồn tại số $x_{i}$ và $x_{J}$ (i khác j) thuộc cùng một khoảng. Khi đó $\left | x_{i}-x_{j} \right |<\frac{1}{2004}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trinhhoangdung123456: 30-10-2017 - 22:23