Chủ đề này có 11 trả lời

[henry0905]

$a,b,c >0$
Tìm MIN $\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

[hhhntt]

ta có: (a+b)(b+c)(c+a)$\leq \frac{8}{27}(a+b+c)^{3}$ $\Rightarrow$ $P\geqslant \frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}+\frac{27abc}{(a+b+c)^{3}}$ đặt: $\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}=t$ thì thành: (t$\geqslant 3$) $t+\frac{27}{t^{3}}$$\frac{t}{3}+\frac{t}{3}+\frac{t}{3}+\frac{27}{t^{3}}\geqslant 4$ khi t=3 $\Leftrightarrow$ a=b=c

[Crystal]

ri mới đúng

Thành viên này đã nhiều lần vi phạm Nội quy của Diễn đàn và có tên trong danh sách đen.

BQT quyết định treo nick 1 tuần. Nếu còn tái phạm nữa thì ban nick luôn.

[haichau97]

cho mình hỏi chỗ (a+b) +(b+c)(c+a) hay là (a+b)(b+c)(c+a) vậy bạn

----
WWW: Đề phải là $(a+b)(b+c)(c+a)$ đó.

Đây là một phát biểu khác của bài toán này.

[Crystal]

a,b,c >0
Tìm MIN $\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

Lời giải ở đó như sau.

Biểu thức đã cho được viết lại:
\[\frac{{a + b}}{{2\sqrt[3]{{abc}}}} + \frac{{b + c}}{{2\sqrt[3]{{abc}}}} + \frac{{c + a}}{{2\sqrt[3]{{abc}}}} + \frac{{8abc}}{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}}\]
Theo AM - GM, ta có:
\[\frac{{a + b}}{{2\sqrt[3]{{abc}}}} + \frac{{b + c}}{{2\sqrt[3]{{abc}}}} + \frac{{c + a}}{{2\sqrt[3]{{abc}}}} + \frac{{8abc}}{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}} \ge 4\]
Dấu "=" xảy ra $ \Leftrightarrow a = b = c$. Từ đó có thể kết luận ngay.

[Crystal]

Anh thử với a=b=c=1 đi ạ.
Biểu thức chỉ bằng 2 thôi

Em thử lại đi nhé. Rõ ràng là bằng $4$.

----
doxuantung97: À vâng.Em xin lỗi.EM nhìn nhầm là $3\sqrt[3]{abc}$

[haichau97]

có cách giai khác là :
theo bất đẳng thức cô si cho 3 số dương ta có:
$\frac{(a+b+b+c+c+a)^{3}}{27}\geq (a+b)(b+c)(c+a) \leftrightarrow\frac{ 8(a+b+c)^{3}}{27}\geq (a+b)(b+c)(c+a) \Rightarrow \frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq \frac{27abc}{(a+b+c)^{3}} \Rightarrow BT\geq \frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}+\frac{27abc}{(a+b+c)^{3}}$
đặt $a+b+c=x ; \sqrt[3]{abc}=y (x;y> 0)$
áp dụng BĐT cho bốn số dương ta có
$\frac{x}{3y}+\frac{x}{3y}+\frac{x}{3y}+\frac{27y^{3}}{x^{3}}\geq 4$
dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1 min=4

[Nguyenhuyen_AG]

$a,b,c >0$
Tìm MIN $\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

Ta có bài toán mạnh hơn bài toán như sau

Nếu $a,b,c$ là ba số dương có tổng bằng $3,$ thì $$\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}+\frac{4abc}{a^2b+b^2c+c^2a+abc}\ge 4.$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 03-06-2012 - 20:39

[alex_hoang]

Ta có bài toán mạnh hơn bài toán như sau

Nếu $a,b,c$ là ba số dương có tổng bằng $3,$ thì $$\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}+\frac{4abc}{a^2b+b^2c+c^2a+abc}\ge 4.$$

Bài toán này em nghĩ dựa vào đánh giá sau
Giải sử $b$ là số nằm giữa $a,c$ thì khi đó
\[{a^2}b + {b^2}c + {c^2}a + abc \le b{(a + c)^2}\]
Có lẽ nó cùng ý tưởng với hai bài toán sau đây của anh Cẩn
Cho các số không âm $a,b,c$ sao cho không có hai số nào đồng thời bằng $0$ vậy thì
\[\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{ab + bc + ca}} + \frac{{4abc}}{{{a^2}b + {b^2}c + {c^2}a + abc}} \ge 2\]
\[\frac{{2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}}{{{{(a + b + c)}^2}}} + \frac{{abc}}{{{a^2}b + {b^2}c + {c^2}a}} \ge 1\]

[trungdung97]

hãy mở rộng bất đẳng thức đẹp này với 4 số

----

BQT: SPAM BẠN NHÉ! HÃY CẨN THẬN.

[trungdung97]

ta có bài toán mở rộng sau Cho a,b,c,d>0.Chứng minh rằng
$$\frac{a+b+c+d}{\sqrt[4]{abcd}}+\frac{16abcd}{(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)}\geq 5$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 06-06-2012 - 18:56

[Crystal]

ta có bài toán mở rộng sau Cho a,b,c,d>0.Chứng minh rằng
$$\frac{a+b+c+d}{\sqrt[4]{abcd}}+\frac{16abcd}{(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)}\geq 5$$

Chứng minh hoàn toàn như http://diendantoanho...ndpost&p=321908