Bài 28 .
(a) Cho ba số hữu tỷ $a,b,c$ thõa mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}$ . Chứng minh rằng $A = \sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$ là một số hữu tỷ .
(b) Cho ba số hữu tỷ $x,y,z$ đôi một phân biệt . Chứng minh rằng $\sqrt{\frac{1}{(x-y)^{2}}+\frac{1}{(y-z)^{2}}+\frac{1}{(z-x)^{2}}}$ là một số hữu tỷ
© Cho $a,b,c$ là ba số hữu tỷ thỏa mãn điều kiện $ab+bc+ca=1$ . Chứng minh rằng $\sqrt{(a^{2}+1)(b^{2}+1)(c^{2}+1)}$ là một số hữu tỉ
$a)$ $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\Rightarrow a+b=\frac{ab}{c}$ và $bc+ca=ab$
$a^{2}+b^{2}+c^{2}=(a+b+c)^{2}-2(ab+bc+ca)=(\frac{ab}{c}+c)^{2}-4ab=\frac{(ab+c^{2})^{2}}{c^{2}}-4ab=\frac{c^{4}+2abc^{2}+a^{2}b^{2}-4abc^{2}}{c^{2}}=(\frac{c^{2}-ab}{c})^{2}\Rightarrow A=\pm \frac{c^{2}-ab}{c}$
Suy ra điều phải c/m.
$b)$ Đặt $x-y=a;y-z=b;z-x=c$ $\Rightarrow a+b+c=0$
Xét:$a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}=(ab+bc+ca)^{2}-2abc(a+b+c)=(ab+bc+ca)^{2}$
$\Rightarrow \frac{(ab+bc+ca)^{2}}{a^{2}b^{2}c^{2}}=\frac{a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}}{a^{2}b^{2}c^{2}}=\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}=\frac{1}{(x-y)^{2}}+\frac{1}{(y-z)^{2}}+\frac{1}{(z-x)^{2}}\Rightarrow \sqrt{\frac{1}{(x-y)^{2}}+\frac{1}{(y-z)^{2}}+\frac{1}{(z-x)^{2}}}=\pm \frac{ab+bc+ca}{abc}$
Suy ra điều phải c/m.
$c)$ Ta có:$a^{2}+1=a^{2}+ab+bc+ca=(a+c)(a+b)$
Tương tự:$b^{2}+1=(b+c)(b+a);c^{2}=(c+a)(c+b)$
Suy ra:$(a^{2}+1)(b^{2}+1)(c^{2}+1)=[(a+b)(b+c)(c+a)]^{2}\Rightarrow \sqrt{(a^{2}+1)(b^{2}+1)(c^{2}+1)}=\pm (a+b)(b+c)(c+a)$
Suy ra điều phải c/m.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ducthinh26032011: 16-07-2012 - 15:05
...
