Đến nội dung

Hình ảnh

CM $\frac{x^{2}+y^{2}}{x+y}+\frac{y^{2}+z^{2}}{y+z}+\frac{z^{2}+x^{2}}{z+x}\leq 3\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{x+y+z}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
z0zLongBongz0z

z0zLongBongz0z

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 79 Bài viết
$Cho\ x,y,z > 0. CMR\\ \frac{x^{2}+y^{2}}{x+y}+\frac{y^{2}+z^{2}}{y+z}+\frac{z^{2}+x^{2}}{z+x}\leq 3\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{x+y+z}$

#2
wallunint

wallunint

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 273 Bài viết

$Cho\ x,y,z > 0. CMR\\ \frac{x^{2}+y^{2}}{x+y}+\frac{y^{2}+z^{2}}{y+z}+\frac{z^{2}+x^{2}}{z+x}\leq 3\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{x+y+z}$

Bài này khá tường minh zz
Nhân cả 2 vế cho $x+y+z$, phân tích trực tiếp, ta được:

\[\frac{xy{{\left( x-y \right)}^{2}}}{\left( x+z \right)\left( y+z \right)}+\frac{yz{{\left( y-z \right)}^{2}}}{\left( x+y \right)\left( x+z \right)}+\frac{zx{{\left( z-x \right)}^{2}}}{\left( y+z \right)\left( x+y \right)}\ge 0\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi wallunint: 03-06-2012 - 14:32

Vì cuộc sống luôn thay màu .... !!!


#3
Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết

$Cho\ x,y,z > 0. CMR\\ \frac{x^{2}+y^{2}}{x+y}+\frac{y^{2}+z^{2}}{y+z}+\frac{z^{2}+x^{2}}{z+x}\leq 3\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{x+y+z}$

Bài này có thể giải bằng Cauchy-Schwarz.
Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport

#4
Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết

Bài này có thể giải bằng Cauchy-Schwarz.


Anh vui lòng đưa thêm lời giải chứ không nên gửi bài theo kiểu này. Như thế đã vi phạm Nội quy của Diễn đàn Toán học rồi ạ.

Cảm ơn anh đã hợp tác.

#5
wallunint

wallunint

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 273 Bài viết

$Cho\ x,y,z > 0. CMR\\ \frac{x^{2}+y^{2}}{x+y}+\frac{y^{2}+z^{2}}{y+z}+\frac{z^{2}+x^{2}}{z+x}\leq 3\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{x+y+z}$

Em chưa tìm ra cách giải bài Cauchy-Schwarz.
Tuy nhiên, ta có bài toán sau có thể giải bằng Cauchy-Schwarz:


Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Chứng minh:

\[\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{a+b}+\frac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{b+c}+\frac{{{c}^{2}}+{{a}^{2}}}{c+a}\ge 3\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi wallunint: 03-06-2012 - 19:49

Vì cuộc sống luôn thay màu .... !!!


#6
Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết

$Cho\ x,y,z > 0. CMR\\ \frac{x^{2}+y^{2}}{x+y}+\frac{y^{2}+z^{2}}{y+z}+\frac{z^{2}+x^{2}}{z+x}\leq 3\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{x+y+z}$


Nhân hai vế của bất đẳng thức cho $x+y+z$ và sử dụng đẳng thức $$\frac{(x^{2}+y^{2})(x+y+z)}{x+y}=x^2+y^2+z(x+y)-\frac{2xyz}{x+y},$$ ta có thế viết bất đẳng thức trên lại thành $$x^2+y^2+z^2+2xyz\left ( \frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+y} \right )\ge 2(xy+yz+zx).$$ Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có $$\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\ge\frac{9}{2(x+y+z)},$$ vậy ta chỉ cần chỉ ra được $$x^2+y^2+z^2+\frac{9xyz}{x+y+z}\ge2(xy+yz+zx).$$ Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng vì nó là bất đẳng thức Schur dạng phân thức. $\Box$
Nhận Xét. Sử dụng bất đẳng thức này ta có thể chứng minh được bài toán sau của Darij Grinberg $$\frac{a^2(b+c)}{b^2+c^2}+\frac{b^2(c+a)}{c^2+a^2}+\frac{c^2(a+b)}{a^2+b^2}\ge a+b+c$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 04-06-2012 - 13:02

Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh