CM $\frac{x^{2}+y^{2}}{x+y}+\frac{y^{2}+z^{2}}{y+z}+\frac{z^{2}+x^{2}}{z+x}\leq 3\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{x+y+z}$
#1
Đã gửi 03-06-2012 - 14:20
#2
Đã gửi 03-06-2012 - 14:31
Bài này khá tường minh zz$Cho\ x,y,z > 0. CMR\\ \frac{x^{2}+y^{2}}{x+y}+\frac{y^{2}+z^{2}}{y+z}+\frac{z^{2}+x^{2}}{z+x}\leq 3\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{x+y+z}$
Nhân cả 2 vế cho $x+y+z$, phân tích trực tiếp, ta được:
\[\frac{xy{{\left( x-y \right)}^{2}}}{\left( x+z \right)\left( y+z \right)}+\frac{yz{{\left( y-z \right)}^{2}}}{\left( x+y \right)\left( x+z \right)}+\frac{zx{{\left( z-x \right)}^{2}}}{\left( y+z \right)\left( x+y \right)}\ge 0\]
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi wallunint: 03-06-2012 - 14:32
- haichau97 yêu thích
Vì cuộc sống luôn thay màu .... !!!
#3
Đã gửi 03-06-2012 - 15:50
Bài này có thể giải bằng Cauchy-Schwarz.$Cho\ x,y,z > 0. CMR\\ \frac{x^{2}+y^{2}}{x+y}+\frac{y^{2}+z^{2}}{y+z}+\frac{z^{2}+x^{2}}{z+x}\leq 3\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{x+y+z}$
Ho Chi Minh City University Of Transport
#4
Đã gửi 03-06-2012 - 15:53
Bài này có thể giải bằng Cauchy-Schwarz.
Anh vui lòng đưa thêm lời giải chứ không nên gửi bài theo kiểu này. Như thế đã vi phạm Nội quy của Diễn đàn Toán học rồi ạ.
Cảm ơn anh đã hợp tác.
#5
Đã gửi 03-06-2012 - 19:48
Em chưa tìm ra cách giải bài Cauchy-Schwarz.$Cho\ x,y,z > 0. CMR\\ \frac{x^{2}+y^{2}}{x+y}+\frac{y^{2}+z^{2}}{y+z}+\frac{z^{2}+x^{2}}{z+x}\leq 3\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{x+y+z}$
Tuy nhiên, ta có bài toán sau có thể giải bằng Cauchy-Schwarz:
Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Chứng minh:
\[\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{a+b}+\frac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{b+c}+\frac{{{c}^{2}}+{{a}^{2}}}{c+a}\ge 3\]
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi wallunint: 03-06-2012 - 19:49
- Dung Dang Do yêu thích
Vì cuộc sống luôn thay màu .... !!!
#6
Đã gửi 03-06-2012 - 20:18
$Cho\ x,y,z > 0. CMR\\ \frac{x^{2}+y^{2}}{x+y}+\frac{y^{2}+z^{2}}{y+z}+\frac{z^{2}+x^{2}}{z+x}\leq 3\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{x+y+z}$
Nhân hai vế của bất đẳng thức cho $x+y+z$ và sử dụng đẳng thức $$\frac{(x^{2}+y^{2})(x+y+z)}{x+y}=x^2+y^2+z(x+y)-\frac{2xyz}{x+y},$$ ta có thế viết bất đẳng thức trên lại thành $$x^2+y^2+z^2+2xyz\left ( \frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+y} \right )\ge 2(xy+yz+zx).$$ Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có $$\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\ge\frac{9}{2(x+y+z)},$$ vậy ta chỉ cần chỉ ra được $$x^2+y^2+z^2+\frac{9xyz}{x+y+z}\ge2(xy+yz+zx).$$ Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng vì nó là bất đẳng thức Schur dạng phân thức. $\Box$
Nhận Xét. Sử dụng bất đẳng thức này ta có thể chứng minh được bài toán sau của Darij Grinberg $$\frac{a^2(b+c)}{b^2+c^2}+\frac{b^2(c+a)}{c^2+a^2}+\frac{c^2(a+b)}{a^2+b^2}\ge a+b+c$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 04-06-2012 - 13:02
- wallunint, alex_hoang, le_hoang1995 và 3 người khác yêu thích
Ho Chi Minh City University Of Transport
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh