Chủ đề này có 3 trả lời

[thanhluong]

Tìm nghiệm nguyên của phương trình $x^{3}-y^{3} = 2xy + 8$

[nguyenta98]

Tìm nghiệm nguyên của phương trình $x^{3}-y^{3} = 2xy + 8$

Giải như sau:
$$x^3-y^3=2xy+8$$
$$\leftrightarrow (x-y)^3+3xy(x-y)=2xy+8$$
$$\leftrightarrow a^3+3ba=2b+8$$
$$\leftrightarrow a^3+b(3a-2)=8$$
$$\leftrightarrow (3a)^3-8+27b(3a-2)=208$$
$$\leftrightarrow (3a-2)(9a^2+6a+4+27b)=208$$
Đến đây phương trình ước số dễ rồi

[Baoriven]

Đặt $(x,-y)=(a,b)$. Khi đó, PT trở thành:

$$ a^3+b^3+2ab-8=0.$$

Ở đây có dạng tổng tích nên $(a+b,ab)=(S,P)$, ta thu được:

$$ P=\dfrac{S^3-8}{3S-2}.$$ 

Để ý $P\leq \dfrac{S^2}{4}$ nên ta có: 

$$\dfrac{S^3-8}{3S-2}\leq \dfrac{S^2}{4} \Leftrightarrow \dfrac{S^3+2S^2-32}{3S-2}\leq 0\Leftrightarrow \frac{2}{3}<S \leq \frac{2}{3}(-1+\sqrt[3]{53-6 \sqrt{78}}+\sqrt[3]{53+6 \sqrt{78}}).$$

Do $S\in \mathbb{Z}$ nên $S=1$ (loại $P$ không nguyên) và $S=2$, được $P=0$.

 

Vậy $(x,y)=\{(2,0),(0,-2)\}$.

 

P/S:

• Nếu đổi lại $x^3-y^3=2xy-8$ thì ở đoạn giải BPT theo $S$ sẽ đẹp hơn .
• Việc đặt lại theo $a,b$ là do sau khi đổi dấu. Còn việc đặt $S,P$ là do thử kiểm tra liệu có thể $S$ nằm trong đoạn nào?
• Các kỹ thuật đặt trên là do kinh nghiệm, tuy nhiên nếu làm nhiều sẽ thành thói quen với các bài dạng PT nghiệm nguyên (vốn không có nhiều điều kiện của biến).
• Ngoài ra, trong vài trường hợp có thể mẫu là ước của tử hoặc một vế nào đó của PT luôn âm/dương.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 20-11-2023 - 20:19

[nhancccp]

Tìm nghiệm nguyên của phương trình $x^{3}-y^{3} = 2xy + 8$

Đặt $x=y+k$ phương trình đã cho trở thành $(y+k)^3-y^3=2y(y-k)+8 \Leftrightarrow (3k-2)y^2+(3k^2-2k)y+k^3-8=0$ (1)

$\Delta=(3k^2-2k)^2-4(k^3-8)(3k-2)$.Để phương trình có nghiệm thì $\Delta \geq 0$ $\Leftrightarrow (3k^2-2k)^2-4(3k-2)(k^3-8) \geq 0\Leftrightarrow (3k-2)(k^3+2k^2-32)\leq 0\Leftrightarrow$ $\frac{2}{3}\leq k\leq\frac{1}{3}(\sqrt[3]{424-48\sqrt{78}}+2\sqrt[3]{53+6\sqrt{78}}-2)$

Vì $k \in Z$ nên $k=1,k=2$

Xét $k=1$,$(1)\Leftrightarrow y^2-y+7=0 (vn)$

Xét $k=2$,$(1) \Leftrightarrow y^2+2y=0$ suy  $y=0;y=-2$

Vậy $x=0$ hoặc $x=2$ khi giá trị của $y$ lần lượt là $y=-2;y=0$

Vậy $(x;y)=(0;-2);(2;0)$