Các bạn là thành viên của VMF hãy đưa ra những lời giải cho đề thi Tốt nghiệp năm nay nào. Mặc dù đã có nhiều nguồn công bố đáp án nhưng mình mong các bạn hãy tự suy nghĩ và đưa ra lời giải cho riêng mình. Đặc biệt là các em 12 vừa thi xong, hãy gửi bài làm của mình nhé.
BBT Diễn đàn sẽ tổng hợp lại file đáp án của VMF để làm "kỉ niệm".
Yêu cầu: Trình bày lời giải rõ ràng bằng $\LaTeX$ đến đáp án cuối cùng.
Lưu ý thêm : một bài toán có thể nhiều bạn cùng giải (khuyến khích các bài giải trọn vẹn). Sau đó sẽ tổng kết lại cho đáp án ra ngoài trang chủ, tất nhiên có đính kèm tên tác giả đã giải quyết bài toán đó :-). Về bài hàm số BBT và hình vẽ nếu không biết làm sẽ có hỗ trợ
Thể theo yêu cầu của anh Thành với anh T*genie* thì em xin trình bày bài hình học không gian theo $2$ cách khácCâu 3. (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$ và $BA=BC=a$. Góc giữa đường thẳng $A'B$ với mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ bằng ${60^0}$. Tính thể tích khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ theo $a$.
ĐÁP ÁN CHÍNH THỨC CỦA BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
Ta có: $A'A\perp (ABC)\Rightarrow \widehat{A'BA}=60^{o}$
Diện tích đáy $S_{\Delta ABC}=\frac{a^{2}}{2}$
Chiều cao lăng trụ: $AA'=a.\tan 60^{o}=a\sqrt{3}$
Vậy thể tích khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ là: $V_{ABC.A'B'C'}=S_{\Delta ABC}.AA'=\frac{a^{3}\sqrt{3}}{2}$
NHẬN XÉT: Ta thấy rằng nếu như áp dụng trực tiếp công thức thể tích hình trụ thì mọi chuyện quá dễ dàng. Tuy nhiên, chẳng may ta quên công thức hình trụ thì sao? Sau đây mình xin trình bày một số cách tính thể tích hình trụ mà không sử dụng công thức thể tích hình trụ:
----------------------------------------------------------------------------
CÁCH 1: Tính thể tính hình trụ thông qua thể tích của $2$ hình chóp
Ý tưởng của cách này là chúng ta sẽ chẻ hình trụ ra thành $2$ hay nhiều hình chóp khác nhau, sau đó tính thể tích từng hình chóp rồi cộng lại, ở đây mình xin trình bày cách tách hình trụ ra thành $2$ hình chóp
Nối $A'C$, như vậy, lăng trụ đã được tách thành $2$ hình, tứ diện $A'.ABC$ và hình chóp $A'.B'C'CB$
Ta có: $A'A\perp (ABC)\Rightarrow \widehat{A'BA}=60^{o}$
$\Rightarrow A'A$ là đường cao của tứ diện $A'.ABC$
$\Rightarrow A'A=a.tan60^{o}=a\sqrt{3}$
Diện tích đáy $S_{\Delta ABC}=\frac{a^{2}}{2}$
$\Rightarrow V_{A'.ABC}=\frac{a^{3}\sqrt{3}}{6}$ (1)
Tạ lại có: $A'B'\perp (B'C'CB)$
$\Rightarrow A'B'$ là đường cao của hình chóp $A'.B'C'CB$
$\Rightarrow A'B'=AB=a$Mặt khác: có $A'A=B'B=a\sqrt{3}$
$\Rightarrow S_{B'C'CB}=a.a\sqrt{3}=a^{2}\sqrt{3}$
$\Rightarrow V_{B'C'CB}=\frac{1}{3}.a.a^{2}\sqrt{3}=\frac{a^{3}\sqrt{3}}{3}$ (2)
$(1);(2)\Rightarrow V_{ABC.A'B'C'}=V_{A'.ABC}+V_{B'C'CB}=\frac{a^{3}\sqrt{3}}{6}+\frac{a^{3}\sqrt{3}}{3}=\frac{a^{3}\sqrt{3}}{2}$
Vậy:
$$\boxed{V_{ABC.A'B'C'}=\frac{a^{3}\sqrt{3}}{2}}$$
----------------------------------------------------------------------------
CÁCH 2: Tính thể tích lăng trụ bằng cách sử dụng thể tích của hình hộp chữ nhật (1)
Ý tưởng của phương pháp này là ta sẽ tạo ra $1$ hình lăng trụ nữa bằng với lăng trụ ban đầu, ráp lại sẽ tạo thành hình hộp chữ nhật. Lúc này ta chỉ cần tính thể tích hình hộp chữ nhập rồi chia đôi sẽ ra thể tích lăng trụ
Chắc các bạn sẽ thắc mắc vì sao mình lại lấy thể tích hình hộp chữ nhập rồi chia đôi sẽ ra thể tích lăng trụ mà không phải nhân đôi hay chia ba, chia bốn,....... phần dưới đây mình sẽ chứng minh điều đó
Trước hết ta có định nghĩa về $2$ hình bằng nhau: Hai hình $H$ và $H'$ bằng nhau có một phép dời hình biến hình này thành hình kia (Theo sách giáo khoa Hình học nâng cao 12, trang 12 của NXB Giáo dục).
Quay trở lại bài toán, trong (A'B'C'), vẽ tia $A'x'//B'C'$ và tia $C'y'//A'B'$, $2$ tia $A'x'$; $C'y'$ cắt nhau tại $D'$
Trong (ABC), vẽ tia $Ax//BC$ và tia $Cy//AB$, $2$ tia $Ax$; $Cy$ cắt nhau tại $D$
Từ cách vẽ trên, với $\widehat{A'B'C'}=\widehat{ABC}=90^{o}$ và $AB=BC=A'B'=B'C'$ ta có $A'B'C'D'$ và $ABCD$ là hình vuông
Phép đối xứng qua $(AA'C'C)$ lần lượt biến các điểm $A',A,B,B',C',C$ thành các điểm $D',D,B,B',C',C'$
nên lăng trụ $ABC.A'B'C'$ đối xứng qua $(B'C'CB)$ tạo thành lăng trụ $BDC.B'D'C'$
Vậy theo định nghĩa $\Rightarrow ABC.A'B'C'=BDC.B'D'C'$
$\Rightarrow V_{ABC.A'B'C'}=V_{BDC.B'D'C'}$
Mà $V_{ABC.A'B'C'}+V_{BDC.B'D'C'}=V_{ABCD.A'B'C'D'}$
$\Rightarrow V_{ABC.A'B'C'}=\frac{V_{ABCD.A'B'C'D}}{2}$
Như vậy ta có $ABCD.A'B'C'D$ là hình hộp chữ nhật
Ta có:
$\Delta ABC=\Delta A'B'C'$
$\Rightarrow S_{\Delta ABC}=S_{\Delta A'B'C'}$
$\Rightarrow S_{ABCD}=2.S_{\Delta ABC}=a^{2}$
Ta có: $A'A\perp (ABC)\Rightarrow \widehat{A'BA}=60^{o}$
$\Rightarrow AA'=a.\tan 60^{o}=a\sqrt{3}$
$\Rightarrow V_{ABCD.A'B'C'D'}=S_{ABCD}.AA'=a^{2}.a\sqrt{3}=a^{3}\sqrt{3}$
$\Rightarrow V_{ABC.A'B'C'}= \frac{V_{ABCD.A'B'C'D'}}{2}=\frac{a^{3}\sqrt{3}}{2}$
Vậy:
$$\boxed{V_{ABC.A'B'C'}=\frac{a^{3}\sqrt{3}}{2}}$$
Hai cách trên mình trình bày chỉ mang tính tham khảo, phòng hờ trường hợp các bạn quên công thức tính thể tích lăng trụ. Các bạn có thể trình bày 1 số cách khác nhưng cố gắng đừng sử dụng công thức tính thể tích lăng trụ nhé, vì như thế thì bài toán quá dễ dàng rồi
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 13-06-2012 - 22:57