Cho em hỏi về phương pháp chuẩn hoá trong bất đẳng thức ạ?Lúc nào thì sử dụng và cách sử dụng ạ?
P/s:Mới nhập môn BDT nên còn ngu lắm,mong các tiền bối chỉ giáo
Cho em hỏi về phương pháp chuẩn hoá trong bất đẳng thức ạ?Lúc nào thì sử dụng và cách sử dụng ạ?
P/s:Mới nhập môn BDT nên còn ngu lắm,mong các tiền bối chỉ giáo
Cho em hỏi về phương pháp chuẩn hoá trong bất đẳng thức ạ?Lúc nào thì sử dụng và cách sử dụng ạ?
P/s:Mới nhập môn BDT nên còn ngu lắm,mong các tiền bối chỉ giáo
hàm f(a,b,c) được gọi là thuần nhất với các biến trên miền I nếu nó thỏa mãn điều kiện
$f(ta,tb,tc)=t^k.f(a,b,c)$ với k không phụ thuộc a,b,c,t mà phụ thuộc vào hàm f
muốn chuẩn hóa được thì phải thỏa mãn điều kiện này. Còn muốn sử dụng thì mục đích của nó là làm BĐT cần CM trở nên đơn giản nhất nên còn tùy khả năng chuẩn hóa của em
Cho $X^2+Y^2+Z^2=\frac{1}{2}$ thì
$\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{y^2+z^2}+\frac{1}{z^2+x^2}\geq 9$
Bài toán sẽ trở nên thú vị nếu thay điều kiện : $x^{2}+y^{2}+z^{2}=\frac{1}{2}\rightarrow x+y+z=\frac{1}{2}$
Và đây cũng là bđt Vasc nổi tiếng ( cũng không hẳn nổi tiếng lắm )
c$\sum \frac{1}{a^{2}+b^{2}}\geq \frac{6}{(a+b+c)^{2}}$
Điều tôi muốn biết trước tiên không phải là bạn đã thất bại ra sao mà là bạn đã chấp nhận nó như thế nào .
- A.Lincoln -Hôm trước cô của mình có ra 1 bài như thế này
1.Cho $a;b;c;d>0$ và $\sum \frac{1}{1+a}=3$.Chứng minh $abcd\leq \frac{1}{81}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi votruc: 02-08-2015 - 09:06
Để biểu thức $P \geq 0$ ta có các trường hợp sau:
+) $a \geq c \geq b$.
+) $b \geq a \geq c$.
+) $c \geq b \geq a$.
Như vậy ta chỉ cần xét một trường hợp thì cũng đúng cho hai trường hợp còn lại.
Ta xét: $a \geq c \geq b \Rightarrow a^2=1-b^2-c^2 \geq 1-2a^2 \Rightarrow a \geq \dfrac{1}{ \sqrt{3}}$
Ta có: $ a^2+b^2+c^2=1 \Rightarrow b^2=1-a^2-c^2 \le 1-2b^2 \Rightarrow b \le \dfrac{1}{ \sqrt{3}}$
Và ta lại có: $a^2+c^2=1-b^2 \le 1 \Rightarrow a^2 \le 1-c^2 \Rightarrow a \le \sqrt{1-c^2}$
Và lưu ý: $a \le 1$
Đối với trường hợp này ($a \geq c \geq b$) 90% dự đoán điểm rơi sẽ là $b=0$ nên ta sẽ đi theo hướng khảo sát hàm số $P(b)$ ( Quan trọng là miền của $b$ ta phải xác định càng kĩ càng tốt vì đây là yếu tố quyết định, chỉ cần miền của $b$ lớn hơn một tí là chúng ta sẽ thấy hướng đi không đảm bảo khi khảo sát. Ở đây có hai miền của $b$ mà chúng ta cần nghĩ đến là $0 \le b \le \dfrac{1}{ \sqrt{3}}$ và $0 \le b \le c$. Tuy nhiên với cách làm của tôi thì các bạn sẽ thấy ta nên chọn miền nào của $b$.
Sau đây là lời giải:
Ta có: $P=(a-c) \big[ 2b^3-(1+ac)b+a^2c+ac^2 \big]$
Ta xét hàm số $P(b)=(a-c) \big[ 2b^3-(1+ac)b+a^2c+ac^2 \big]$
Ta có: $P^{'}(b) =(a-c)(6b^2-1-ac)=0 \Rightarrow b=- \sqrt{ \dfrac{1+ac}{6}}, b= \sqrt{ \dfrac{1+ac}{6}}$
Rõ ràng nếu ta dùng miền $b$ là $0 \le b \le c$ thì $b= \sqrt{ \dfrac{1+ac}{6}}$ chưa thể $ \le c$. Nhưng khi dùng miền $0 \le b \le \dfrac{1}{ \sqrt{3}}$ thì $b= \sqrt{ \dfrac{1+ac}{6}} \le \dfrac{1}{ \sqrt{3}}$ luôn đúng và $P(0)>P \Bigg( \dfrac{1}{ \sqrt{3}} \Bigg)$. Vậy nên ta chọn miền $0 \le b \le \dfrac{1}{ \sqrt{3}}$.
Lập bảng biến thiên ta có $MaxP= P(0)=ac(a-c)(a+c)=ac(a^2-c^2)$
Ta lại có: $P(0) \le c \sqrt{1-c^2}(1-2c^2)$
Đặt $F(c)=c \sqrt{1-c^2}(1-2c^2)$ với $c \in \big[0; \dfrac{ \sqrt{2}}{2} \big]$.
Giải thích: $c \in \big[0; \dfrac{ \sqrt{2}}{2} \big]$ vì $c^2 \le a^2=1-b^2-c^2 \le 1-c^2 \Rightarrow c^2 \le 1-c^2 \Rightarrow 0 \le c \le \dfrac{ \sqrt{2}}{2}$.
Ta có: $F^{'}(c)= \dfrac{8c^4-8c^2+1}{ \sqrt{1-c^2}} =0 \Rightarrow c=- \dfrac{ \sqrt{2+ \sqrt{2}}}{2}, c=- \dfrac{ \sqrt{2- \sqrt{2}}}{2}, c= \dfrac{ \sqrt{2- \sqrt{2}}}{2}, c= \dfrac{ \sqrt{2+ \sqrt{2}}}{2} $.
Lập bảng biến thiên ta có: $MaxF(c)= F \Bigg( \dfrac{ \sqrt{2- \sqrt{2}}}{2} \Bigg) = \dfrac{1}{4}$
Vậy ta có $MaxP= \dfrac{1}{4}$ tại $a= \dfrac{ \sqrt{2+ \sqrt{2}}}{2}, b=0, c= \dfrac{ \sqrt{2- \sqrt{2}}}{2} $.
________________________________________________________
Xét $$P^2=(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2(a+b+c)^2$$
Nếu đặt $p=a+b+c\ge 0,\ 0\le q=ab+bc+ca\le 1,\ r=abc\ge 0$. Khi đó, giả thiết suy ra $p^2=2q+1$ và ta có
\[\begin{aligned}P^2&=(p^2q^2+8pqr-27r^2-4q^3-4p^3r)p^2\\
&=-27(2q+1)r^2-4(2q+1)\sqrt{2q+1}r+(2q+1)q^2(1-2q)=f(r)\end{aligned}\]
Ta có $f'(r)=0\iff r= \dfrac{-2\sqrt{2q+1}}{27}<0.$
Kết hợp BĐT $Schur$ suy ra $r\ge \max \left \{ 0, \dfrac{(2q-1)\sqrt{2q+1}}{4} \right \}$.
Vì hàm $f(r)$ là hàm bậc hai theo ẩn $r$ có hệ số $a<0$ và hoành độ đỉnh âm nên $f(r)$ nghịch biến trên $[0;+\infty).$
+ TH1: Nếu $\dfrac{1}{2}\le q\le 1$ thì
\[f(r)\le f \left( \dfrac{\sqrt{2q+1}(2q-1)}{4} \right ) =-218q^3+93q^2+54q-23\le 0.\]
+ TH2: Nếu $0\le q\le \dfrac{1}{2}$ thì
\[f(r)\le f \left( 0 \right ) =(1+2q)q^2(1-2q)\le \dfrac{1}{16}.\]
Do đó, \[- \dfrac{1}{4}\le P\le \dfrac{1}{4}\]
Vậy, \[\boxed{\min P= - \frac{1}{4}\Leftrightarrow a= \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2},b= \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2},c=0}\]
\[\color{blue}{\boxed{\max P= \frac{1}{4}\Leftrightarrow b= \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2},c= \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2},a=0}}\]P/S: Trích theo lời giải của toantuoithotth
Sĩ quan
Công nhận giờ nhìn vào mấy cái này khó thật! không biết làm ntn thế mà ngày xưa làm ầm ầm
VFone là tổng đài điện thoại ứng dụng công nghệ VoIP trên nền tảng Internet
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh