Bài 1: http://diendantoanho...i1na-ib-jright/Bài 2: Hai bộ số $(x)=(x_1,x_2,...,x_n)$ và $(y)=(y_1,y_2,...,y_n)$ thỏa mãn 3 tính chất sau thì bộ (x) gọi là trội hơn bộ (y)
1. $x_1\geq x_2\geq ...\geq x_n$ và $y_1\geq y_2\geq ...\geq y_n$
2. $x_1+x_2+...+x_i\geq y_1+y_2+..+y_i, \vee i=1,2,...,(n-1)$
3.$x_1+x_2+...+x_n = y_1+y_2+..+y_n$
ta ký hiệu: $(x)\succ y$
Tiếp theo ta cho hai bộ số: $(a)=(a_1,a_2,...,a_n)$ trội hơn bộ số $(b)=(b_1,b_2,...,b_n)$.
Khi đó ta có bất đẳng thức sau:
$a_1x_1+a_2x_2+...a_nx_n \geq b_1y_1+b_2y_2+...b_ny_n $
Mở rộng khi có các cặp bộ trội dương như sau:Bộ các bộ $(a_j)\succ (b_j) $ trong đó:
$(a_1)=(a_{11},a_{12},...a_{1n}); b_1=(b_{11},b_{12},...b_{1n})$
$(a_2)=(a_{21},a_{22},...a_{2n}); b_1=(b_{21},b_{22},...b_{2n})$
$...............................................$
$(a_m)=(a_{m1},a_{m2},...a_{mn}); b_1=(b_{m1},b_{m2},...b_{mn})$
Với $a_{ij}>0; b_{ij}>0$
Ta sẽ có một bất đẳng thức tổng quát như sau:
$\sum_{j=1}^{n}\left ( \prod_{i=1}^{m}a_{ji} \right )\geq \sum_{j=1}^{n}\left ( \prod_{i=1}^{m}b_{ji} \right )$
(Hi vọng không trùng với bất đẳng thức nào của tác giả khác-nếu trùng sẽ xóa- đang ngờ ngợ trùng với BĐT muihaird may không phải. Anh đã chứng minh được rùi các em học sinh thử chứng minh xem; nếu không chứng minh được anh sẽ chứng minh)
Bài 3: (Daothanhoai và Lehoang_95)
Với $a,b,c,r\geq 0$ chứng minh bất đẳng thức sau
$a^r(a^2-b^2)(c+a)+b^r(b^2-c^2)(a+b)+c^r(c^2-a^2)(b+c)\geq 0$
Chứng minh tại đây:
http://diendantoanho...crc2-a2bcgeq-0/Bài 4: (daothanhoai và Lehoang_95)
$a_i>1; i=1,2,...,n$ đặt
$x=\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}$
Ta có:
$a_1^{a_1}+a_2^{a_2}+....+a_n^{a_n}\geq a_1^x+a_2^x+...+a_n^x$
Chứng minh tại đây:
http://diendantoanho...-thức-karamata/
Đào Thanh Oai
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi daothanhoai: 01-08-2012 - 18:42
