Chủ đề này có 4 trả lời

[ahead325]

Chứng minh rằng: ${x^8} - {x^5} + {x^2} - x + 1$ > 0, với mọi số thực x.
___

[mituot03]

Có $x^{8}-x^7 +x^5- x^4 +x^3 -x+1 =\frac{x^{10}+x^{5}+1}{x^{2}+x+1}$
$x^{10}+x^{5}+1= (x^5+\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}$
$\Rightarrow x^{10}+x^{5}+1>0$
$x^{2}+x+1= (x+\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}>0$
$\Rightarrow x^{8}-x^{7}+x^{5}-x^{4}+x^{3}-x+1 >0$

ahead325:

Có $x^{8}-x^7 +x^5- x^4 +x^3 -x+1 =\frac{x^{10}+x^{5}+1}{x^{2}+x+1}$
$x^{10}+x^{5}+1= (x^5+\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}$
$\Rightarrow x^{10}+x^{5}+1>0$
$x^{2}+x+1= (x+\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}>0$
$\Rightarrow x^{8}-x^{7}+x^{5}-x^{4}+x^{3}-x+1 >0$

$P/S:$ Có vẻ như bạn nhầm đề rồi nhỉ ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 12-06-2012 - 17:36

[nguyenta98]

Chứng minh rằng: ${x^8} - {x^5} + {x^2} - x + 1$ > 0, với mọi số thực x.
___

Một cách giải khác
Giải như sau:

TH1: $x<0 \Rightarrow (x^8-x^5);(x^2-x) \geq 0 \Rightarrow x^8-x^5+x^2-x+1>0$

TH2: $x\geq 1 \Rightarrow (x^8-x^5)\geq 0$ và $(x^2-x)\geq 0$ nên $\Rightarrow x^8-x^5+x^2-x+1>0$ đpcm

TH3: $0 \le x<1 \rightarrow x^8<x^5$ và $x^2<x$

Như vậy ta có $x^8-x^5+x^2-x+1=1-(x^5-x^8+x-x^2)=1-[x^5(1-x^3)+x(1-x)]$

Ta chỉ cần cm $x^5(1-x^3)+x(1-x)<1$ như vậy suy ra ngay $1-[x^5(1-x^3)+x(1-x)]>0$ nên có đpcm

Thật vậy $x^5(1-x^3)+x(1-x)\le \left(\dfrac{x^5+1-x^3}{2} \right)^2 + \left(\dfrac{x+1-x}{2} \right)^2 = \left(\dfrac{1-(x^3-x^5)}{2} \right)^2 + \dfrac{1}{4}$

Nhận thấy $\left(\dfrac{1-(x^3-x^5)}{2} \right)^2 \le \left(\dfrac{1}{2} \right)^2=\dfrac{1}{4}$ (do $x^3>x^5$ vì $0\le x<1$)

Suy ra ngay $x^5(1-x^3)+x(1-x)\le \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4} <1$ nên $1-[x^5(1-x^3)+x(1-x)]>0$ nên có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 12-06-2012 - 16:13

[Fire Dragon Slayer]

TH1: x<0⇒(x8−x5);(x2−x)≥0⇒x8−x5+x2−x+1>0x<0⇒(x8−x5);(x2−x)≥0⇒x8−x5+x2−x+1>0

TH2: x≥1⇒(x8−x5)≥0x≥1⇒(x8−x5)≥0 và (x2−x)≥0(x2−x)≥0 nên ⇒x8−x5+x2−x+1>0⇒x8−x5+x2−x+1>0 đpcm

TH3: 0≤x<1→x8<x50≤x<1→x8<x5 và x2<xx2<x

Như vậy ta có x8−x5+x2−x+1=1−(x5−x8+x−x2)=1−[x5(1−x3)+x(1−x)]x8−x5+x2−x+1=1−(x5−x8+x−x2)=1−[x5(1−x3)+x(1−x)]

Ta chỉ cần cm x5(1−x3)+x(1−x)<1x5(1−x3)+x(1−x)<1 như vậy suy ra ngay 1−[x5(1−x3)+x(1−x)]>01−[x5(1−x3)+x(1−x)]>0 nên có đpcm

Thật vậy x5(1−x3)+x(1−x)≤(x5+1−x32)2+(x+1−x2)2=(1−(x3−x5)2)2+14x5(1−x3)+x(1−x)≤(x5+1−x32)2+(x+1−x2)2=(1−(x3−x5)2)2+14

Nhận thấy (1−(x3−x5)2)2≤(12)2=14(1−(x3−x5)2)2≤(12)2=14 (do x3>x5x3>x5 vì 0≤x<10≤x<1)

Suy ra ngay x5(1−x3)+x(1−x)≤14+14<1x5(1−x3)+x(1−x)≤14+14<1 nên 1−[x5(1−x3)+x(1−x)]>01−[x5(1−x3)+x(1−x)]>0 nên có đpcm 

[Drago]

Chứng minh rằng: ${x^8} - {x^5} + {x^2} - x + 1$ > 0, với mọi số thực x.
___

 

Gọi biểu thức là A thì A = $x^{8}-2x^{4}.\frac{x}{2}+\frac{x^{2}}{4}+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{2}}{4}-x+1$

=$(x^{4}-\frac{x}{2})^{2}+\frac{x^{2}}{2}+\left ( \frac{x}{2}-1\right )^{2}>0\forall x\in \mathbb{R}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Drago: 07-05-2017 - 16:17