Cho một đa giác lồi, không có hai cạnh nào song song với nhau. Với mỗi cạnh của đa giác, ta xét góc mà đỉnh xa nhất với cạnh đó nhìn trên cạnh đó.
#1
Đã gửi 13-10-2005 - 19:44
- anh qua, E. Galois, BlackSelena và 3 người khác yêu thích
#2
Đã gửi 17-09-2012 - 07:21
Hoa hồng hi vọng sẽ mang lại 50 điểm cho người đầu tiên giải đúng được bài toán này. Nếu hết ngày 12/09 mà vẫn không có ai giải được, BTC sẽ công bố bài toán khác, tuy nhiên hoa hồng hi vọng sẽ vẫn tồn tại cho đến khi có người giải được bài toán này.
A
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 17-09-2012 - 07:21
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!
#3
Đã gửi 08-11-2012 - 21:24
TH1: Đa giác đó chẵn cạnh:
Gọi các đỉnh đa giác đó là $A_1;A_2;...;A_{2n}$. Xét một cạnh bất kì của đa giác đó, giả sử xét cạnh $A_1A_2$ khi đó ta có đỉnh xa nhất so với cạnh đó sẽ nằm trên cạnh đối với cạnh đó (vì đa giác này lồi nên đa giác nằm trọn trong phần mặt phẳng bị giới hạn bởi hai cạnh này) là cạnh $A_{n+1}A_{n+2}$.
Xét 2 tứ giác $A_1A_2A_{n+1}A_{n+2}$ (hình 1), khi đó ta có 2 cạnh $A_1A_2;A_{n+1}A_{n+2}$ cắt nhau về một phía thuộc nửa mặt phẳng không chứa $A_1A_{n+2}$ bờ $A_2A_{n+1}$ hoặc ngược lại. Do đó, nếu một trong hai góc có đỉnh là $A_2$ thì góc kia có đỉnh là $A_{n+1}$ và nếu một trong hai góc có đỉnh là $A_1$ thì góc kia có đỉnh là $A_{n+2}$.Gọi giao điểm hai đường chéo của tứ giác là O thì 2 góc tương ứng với 2 cạnh trên cùng thuộc một tam giác $OA_1A_{n+2}$ hoặc $OA_2A_{n+1}$.
Ta lại có tổng hai góc này bằng tổng 2 góc của tam giác kia (vì 2 tam giác có chung đỉnh O).
Vậy với 2 cạnh đối diện thì tổng 2 góc thoã mãn bài toán $=\frac{1}{2}$ tổng 4 góc nhìn 2 cạnh này từ 2 đỉnh thuộc cạnh đối diện(ví dụ $=\frac{1}{2}(OA_1A_{n+2}+OA_2A_{n+1}+OA_{n+2}A_1+OA_{n+1}A_2)$
$=A_1OA_2=180^{o}-A_1A_2A_{n+2}-A_2A_1A_{n+1}$ ) như hình 2
Như vậy tổng tất cả các góc thoã mãn bài toán bằng $=(n-2).180^{o}-$ tổng các góc của đa giác $A_1A_2....A_{n}$$=180^{o}$
TH2. Đa giác đã cho có lẻ cạnh là $A_1A_2...A_{2n+1}$. Khi đó do tính chất lồi của đa giác nên đỉnh xa cạnh $A_1A_2$ là đỉnh $A_{n+1}$ ( vì nếu ngược lại thì sẽ tồn tại cạnh kéo dài ma cắt lại đa giác, vô lí).
Khi đó tổng tất cả các góc này $2n.180^{o}-$ tổng các góc của đa giác đó $=180^{o}$.(hình 3)
File gửi kèm
- perfectstrong, PSW, diepviennhi và 2 người khác yêu thích
LKN-LLT
#5
Đã gửi 22-11-2012 - 16:34
Bài làm của bạn rất hay, tuy nhiên trường hợp lẻ cạnh bạn lý luận có vẻ chưa thuyết phục, vì việc khẳng định đỉnh xa cạnh $A_1A_2$ nhất là đỉnh $A_{n+1}$ thì chưa chính xác, mình mới kiểm tra cho $n=2$. Ở trường hợp 1 (hình vẽ) thì xa cạnh $A_1A_2$ nhất là $A_4$, nhưng ở trường hợp 2 (hình vẽ) thì xa cạnh $A_1A_2$ nhất lại là $A_3$. Tương tự trường hợp chẵn cạnh cũng có thể dễ dàng chỉ ra các phản ví dụ cho lý luận của bạn. Mong bạn cho hồi đáp sớm về vấn đề này.Xét 2 TH:
TH1: Đa giác đó chẵn cạnh:
Gọi các đỉnh đa giác đó là $A_1;A_2;...;A_{2n}$. Xét một cạnh bất kì của đa giác đó, giả sử xét cạnh $A_1A_2$ khi đó ta có đỉnh xa nhất so với cạnh đó sẽ nằm trên cạnh đối với cạnh đó (vì đa giác này lồi nên đa giác nằm trọn trong phần mặt phẳng bị giới hạn bởi hai cạnh này) là cạnh $A_{n+1}A_{n+2}$.
Xét 2 tứ giác $A_1A_2A_{n+1}A_{n+2}$ (hình 1), khi đó ta có 2 cạnh $A_1A_2;A_{n+1}A_{n+2}$ cắt nhau về một phía thuộc nửa mặt phẳng không chứa $A_1A_{n+2}$ bờ $A_2A_{n+1}$ hoặc ngược lại. Do đó, nếu một trong hai góc có đỉnh là $A_2$ thì góc kia có đỉnh là $A_{n+1}$ và nếu một trong hai góc có đỉnh là $A_1$ thì góc kia có đỉnh là $A_{n+2}$.Gọi giao điểm hai đường chéo của tứ giác là O thì 2 góc tương ứng với 2 cạnh trên cùng thuộc một tam giác $OA_1A_{n+2}$ hoặc $OA_2A_{n+1}$.
Ta lại có tổng hai góc này bằng tổng 2 góc của tam giác kia (vì 2 tam giác có chung đỉnh O).
Vậy với 2 cạnh đối diện thì tổng 2 góc thoã mãn bài toán $=\frac{1}{2}$ tổng 4 góc nhìn 2 cạnh này từ 2 đỉnh thuộc cạnh đối diện(ví dụ $=\frac{1}{2}(OA_1A_{n+2}+OA_2A_{n+1}+OA_{n+2}A_1+OA_{n+1}A_2)$
$=A_1OA_2=180^{o}-A_1A_2A_{n+2}-A_2A_1A_{n+1}$ ) như hình 2
Như vậy tổng tất cả các góc thoã mãn bài toán bằng $=(n-2).180^{o}-$ tổng các góc của đa giác $A_1A_2....A_{n}$$=180^{o}$
TH2. Đa giác đã cho có lẻ cạnh là $A_1A_2...A_{2n+1}$. Khi đó do tính chất lồi của đa giác nên đỉnh xa cạnh $A_1A_2$ là đỉnh $A_{n+1}$ ( vì nếu ngược lại thì sẽ tồn tại cạnh kéo dài ma cắt lại đa giác, vô lí).
Khi đó tổng tất cả các góc này $2n.180^{o}-$ tổng các góc của đa giác đó $=180^{o}$.(hình 3)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HeilHitler: 22-11-2012 - 18:02
#6
Đã gửi 02-04-2013 - 10:16
Nhận xét của Heihitler hoàn toàn chính xác, có thể chỉ ra phản ví dụ trong lập luận của gogo123. (mong chú sớm post lời giải mới)
Để giải bài toán này ta cần sử dụng đặc trưng Minkowski của đa giác lồi.
Gọi $A_{1},A_{2},... ,A_{n}$ là các đỉnh của đa giác cần xét theo thứ tự ngược chiều kim đồng hồ và định hướng mặt phẳng (hướng dương) bởi hướng của đa giác $A_{1}A_{2},... A_{n}$. Chọn một điểm $O$ bất kì là gốc và vẽ $2n$ vector $\pm \overrightarrow{A_{i}A_{i+1}}$, $i=1,2,...,n$ với quy ước $A_{n+j}=A_{j}$. Gọi các vector gốc $O$ này theo thứ tự ngược chiều kim đồng hồ là $\overrightarrow{b_{1}},\overrightarrow{b_{2}},...,\overrightarrow{b_{2n}}$ (ở đây, vector $\overrightarrow{b_{1}}$ được chọn bất kì). Ta có một nhận xét rằng $\overrightarrow{b_{j}}=-\overrightarrow{b_{j+n}}$ với mọi $j=1,2,...,n$. Từ đó, ta xác định đặc trưng của $A_{1}A_{2},... A_{n}$ là hình $B_{1}B_{2}...B_{2n}$ bởi tính chất $\overrightarrow{B_{i}B_{i+1}}=\overrightarrow{b_{i}}$. Chú ý rằng $B_{1}B_{2}...B_{2n}$ là hình đóng do $\sum_{i=1}^{2n}\overrightarrow{b_{i}}=\overrightarrow{0}$ và là đa giác lồi do $\left (\overrightarrow{B_{i}B_{i+1}},\overrightarrow{B_{i+1}B_{i+2}} \right )_{0} $ bé hơn $\pi $.
Rõ ràng, $\overrightarrow{B_{j}B_{j+1}}=-\overrightarrow{B_{j+n}B_{j+n+1}}$ với mọi $j$ nên tồn tại $O$ là tâm đối xứng của đa giác $B_{1}B_{2}...B_{2n}$
Xét $A_{i}A_{i+1}$ là một cạnh bất kì của đa giác ban đầu. Gọi $A_{k}$ là đỉnh có khoảng cách xa nhất đối với $A_{i}A_{i+1}$ và $j$ là chỉ số thỏa mãn $\overrightarrow{A_{i}A_{i+1}}=\overrightarrow{B_{j}B_{j+1}}$. Hiển nhiên: $$\overrightarrow{A_{i}A_{k}}=\overrightarrow{A_{i}A_{i+1}}+...+\overrightarrow{A_{k-1}A_{k}}=\overrightarrow{A_{i}A_{i-1}}+...+\overrightarrow{A_{k+1}A_{k}}$$ Và $$\overrightarrow{B_{j}B_{j+n}}=\overrightarrow{b_{j}}+...+\overrightarrow{b_{j+n-1}}$$ Chú ý $n$ vector $\overrightarrow{b_{j}},\overrightarrow{b_{j+1}},...,\overrightarrow{b_{j+n-1}}$ đôi một không cùng phương, góc định hướng $\left ( b_{j},b_{j+i} \right )_{0} <\pi $ với mọi $i=0,1,2,...,n-1$; đồng thời tất cả các vector đôi một không cùng phương và tạo với $\overrightarrow{A_{i}A_{i+1}}$ góc định hướng (với chu kì quay là $0$) nhỏ hơn $\pi$ là $\overrightarrow{A_{i}A_{i+1}},...,\overrightarrow{A_{k-1}A_{k}},\overrightarrow{A_{i}A_{i-1}},...,\overrightarrow{A_{k+1}A_{k}}$ suy ra $\overrightarrow{A_{i}A_{i+1}},...,\overrightarrow{A_{k-1}A_{k}},\overrightarrow{A_{i}A_{i-1}},...,\overrightarrow{A_{k+1}A_{k}}$ là một hoán vị của $\overrightarrow{b_{j}},\overrightarrow{b_{j+1}}...,\overrightarrow{b_{j+n-1}}$. Do đó: $$\overrightarrow{B_{j}B_{j+n}}=2\overrightarrow{A_{i}A_{k}}$$ Tương tự như vậy: $$\overrightarrow{B_{j+1}B_{j+n+1}}=2\overrightarrow{A_{i+1}A_{k}}$$ Suy ra $$\widehat{A_{i}A_{k}A_{i+1}}=\widehat{B_{j}OB_{j+1}}=\widehat{B_{j+n}OB_{j+n+1}}$$ Thành thử, tổng các góc cần tính chính bằng $$\frac{1}{2}\sum_{j=1}^{2n}\widehat{B_{j}OB_{j+1}}=\frac{360^{0}}{2}=180^{0}$$ ta có đpcm.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Trungpbc: 02-04-2013 - 10:22
- perfectstrong, WhjteShadow và diepviennhi thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh