Chủ đề này có 3 trả lời

[kidkie]

Chứng minh phương trình (n là tham số)luôn có nghiệm hữu tỷ với mọi số nguyên n

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kidkie: 06-06-2012 - 19:26

[famas1stvn98]

Theo công thức nghiệm phương trình bậc 2 thì x= $\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ nên ta xét cái $b^2$-4ac
$b^2$-4ac=4+4n(n+1)(n+2)(n+3)=$(2n^2+6n+2)^2$. Thay vào ta được x₁=$\frac{n^2+3n}{n+1}$ (hữu tỉ)
còn x₂=$\frac{-n^2-3n-2}{n+1}$ (cũng hữu tỉ)
$\rightarrow$ đpcm
P/s: đoạn cuối mình viết nhầm nên chắc bạn không hiểu. Nó hữu tỉ là vì cả tử lẫn mẩu của phân thức đều là số nguyên.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi famas1stvn98: 06-06-2012 - 20:06

[L Lawliet]

bạn giải thích cho mình vì sao nghiệm kia lại là hữu tỉ được không

Xét biệt thức Delta ra đươc 2 nghiệm $x_{1}$, $x_{2}$ theo $n$ như trên rồi thì: Vì $n$ là số hữu tỉ nên dẫn đến $x_{1}$, $x_{2}$ là số hữu tỉ.

[nguyenta98]

Chứng minh phương trình (n là tham số)luôn có nghiệm hữu tỷ với mọi số nguyên n

Theo công thức nghiệm phương trình bậc 2 thì x= $\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ nên ta xét cái $b^2$-4ac
$b^2$-4ac=4+4n(n+1)(n+2)(n+3)=$(2n^2+6n+2)^2$. Thay vào ta được x₁=$\frac{n^2+3n}{n+1}$ (hữu tỉ)
còn x₂=$\frac{-n^2-3n-2}{n+1}$ (cũng hữu tỉ)
$\rightarrow$ đpcm
P/s: đoạn cuối mình viết nhầm nên chắc bạn không hiểu. Nó hữu tỉ là vì cả tử lẫn mẩu của phân thức đều là số nguyên.

Một cách giải khác
Giải như sau:
Gọi $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình
Theo định lý $Viete$ suy ra $x_1+x_2=\dfrac{-2}{n+1}$ và $x_1x_2=\dfrac{-n(n+2)(n+3)}{n+1}$
Nhận thấy $(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=(x_1-x_2)^2$
Như vậy nếu ta chứng minh được $(x_1-x_2)^2$ là bình phương số hữu tỉ thì suy ra $x_1-x_2$ là số hữu tỉ
Mà $x_1-x_2$ hữu tỉ, với $x_1+x_2=\dfrac{-2}{n+1}$ hữu tỉ suy ra $x_1,x_2$ cùng hữu tỉ
Như vậy ta chỉ cần chứng minh $x_1-x_2$ hữu tỉ là xong $<1>$
Mặt khác $(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=(\dfrac{-2}{n+1})^2 -\dfrac{-4n(n+2)(n+3)}{n+1}$
$=\dfrac{4[n(n+1)(n+2)(n+3)+1]}{(n+1)^2}$
Nhưng ta thấy $4[n(n+1)(n+2)(n+3)+1]=4[n(n+3)(n+2)(n+1)+1]=4[(n^2+3n)(n^2+3n+2)+1]=4(n^2+3n+1)^2=[2(n^2+3n+1)]^2$
Do đó $(x_1-x_2)^2=(\dfrac{[2(n^2+3n+1)]}{n+1})^2$ là bình phương số hữu tỉ nên $<1>$ được cm nên bài toán được chứng minh