Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kidkie: 06-06-2012 - 19:26
Chứng minh phương trình luôn có nghiệm hữu tỷ với mọi số nguyên n
Bắt đầu bởi kidkie, 06-06-2012 - 19:13
#1
Đã gửi 06-06-2012 - 19:13
Chứng minh phương trình
(n là tham số)luôn có nghiệm hữu tỷ với mọi số nguyên n
#2
Đã gửi 06-06-2012 - 19:58
Theo công thức nghiệm phương trình bậc 2 thì x= $\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ nên ta xét cái $b^2$-4ac
$b^2$-4ac=4+4n(n+1)(n+2)(n+3)=$(2n^2+6n+2)^2$. Thay vào ta được x1=$\frac{n^2+3n}{n+1}$ (hữu tỉ)
còn x2=$\frac{-n^2-3n-2}{n+1}$ (cũng hữu tỉ)
$\rightarrow$ đpcm
P/s: đoạn cuối mình viết nhầm nên chắc bạn không hiểu. Nó hữu tỉ là vì cả tử lẫn mẩu của phân thức đều là số nguyên.
$b^2$-4ac=4+4n(n+1)(n+2)(n+3)=$(2n^2+6n+2)^2$. Thay vào ta được x1=$\frac{n^2+3n}{n+1}$ (hữu tỉ)
còn x2=$\frac{-n^2-3n-2}{n+1}$ (cũng hữu tỉ)
$\rightarrow$ đpcm
P/s: đoạn cuối mình viết nhầm nên chắc bạn không hiểu. Nó hữu tỉ là vì cả tử lẫn mẩu của phân thức đều là số nguyên.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi famas1stvn98: 06-06-2012 - 20:06
- nguyenta98 và kidkie thích
#4
Đã gửi 06-06-2012 - 20:40
Chứng minh phương trình (n là tham số)luôn có nghiệm hữu tỷ với mọi số nguyên n
Một cách giải khácTheo công thức nghiệm phương trình bậc 2 thì x= $\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ nên ta xét cái $b^2$-4ac
$b^2$-4ac=4+4n(n+1)(n+2)(n+3)=$(2n^2+6n+2)^2$. Thay vào ta được x1=$\frac{n^2+3n}{n+1}$ (hữu tỉ)
còn x2=$\frac{-n^2-3n-2}{n+1}$ (cũng hữu tỉ)
$\rightarrow$ đpcm
P/s: đoạn cuối mình viết nhầm nên chắc bạn không hiểu. Nó hữu tỉ là vì cả tử lẫn mẩu của phân thức đều là số nguyên.
Giải như sau:
Gọi $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình
Theo định lý $Viete$ suy ra $x_1+x_2=\dfrac{-2}{n+1}$ và $x_1x_2=\dfrac{-n(n+2)(n+3)}{n+1}$
Nhận thấy $(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=(x_1-x_2)^2$
Như vậy nếu ta chứng minh được $(x_1-x_2)^2$ là bình phương số hữu tỉ thì suy ra $x_1-x_2$ là số hữu tỉ
Mà $x_1-x_2$ hữu tỉ, với $x_1+x_2=\dfrac{-2}{n+1}$ hữu tỉ suy ra $x_1,x_2$ cùng hữu tỉ
Như vậy ta chỉ cần chứng minh $x_1-x_2$ hữu tỉ là xong $<1>$
Mặt khác $(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=(\dfrac{-2}{n+1})^2 -\dfrac{-4n(n+2)(n+3)}{n+1}$
$=\dfrac{4[n(n+1)(n+2)(n+3)+1]}{(n+1)^2}$
Nhưng ta thấy $4[n(n+1)(n+2)(n+3)+1]=4[n(n+3)(n+2)(n+1)+1]=4[(n^2+3n)(n^2+3n+2)+1]=4(n^2+3n+1)^2=[2(n^2+3n+1)]^2$
Do đó $(x_1-x_2)^2=(\dfrac{[2(n^2+3n+1)]}{n+1})^2$ là bình phương số hữu tỉ nên $<1>$ được cm nên bài toán được chứng minh
- kidkie yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh