\[
\begin{array}{l}
a_1 = 1 \\
a_2 = 3 \\
a_{n + 2} = 3a_{n + 1} - 2a_n (\forall n \in Z^ + ) \\
\end{array}
\]
Chứng minh
\[
a_{n + 2} = \left[ {\frac{{7a_{n + 1}^2 - 8a_{n + 1} a_n }}{{1 + a_n + a_{n + 1} }}} \right]
\]
Cho dãy số $\begin{array}{l} a_{n + 2} = 3a_{n + 1} - 2a_n (\forall n \in Z^ + ) \\ \end{array}$
Bắt đầu bởi baonguyen97, 07-06-2012 - 10:59
#2
Đã gửi 08-06-2012 - 06:53
perfectstrong
-
- Quản lý Toán Ứng dụng
-
- 4996 Bài viết
$LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$
Lời giải:
Bằng quy nạp, ta chứng minh được rằng $a_n=1+2^{n-1}$
Suy ra
\[
\frac{{7a_{n + 1}^2 - 8a_{n + 1} a_n }}{{1 + a_n + a_{n + 1} }} = \frac{{7\left( {1 + 2^n + 2^{2n - 2} } \right) - 8\left( {1 + 2^n } \right)\left( {1 + 2^{n - 1} } \right)}}{{1 + 1 + 2^{n - 1} + 1 + 2^n }} = \frac{{\left( {2^n + 1} \right)\left( {3.2^n - 1} \right)}}{{3\left( {2^{n - 1} + 1} \right)}}
\]
Ta chỉ cần chứng minh
\[
1 + 2^{n + 1} \le \frac{{\left( {2^n + 1} \right)\left( {3.2^n - 1} \right)}}{{3\left( {2^{n - 1} + 1} \right)}} < 2 + 2^{n + 1}
\]
Dễ chứng minh bằng tương đương hoặc đánh giá. Từ đó, suy ra đpcm.
Bằng quy nạp, ta chứng minh được rằng $a_n=1+2^{n-1}$
Suy ra
\[
\frac{{7a_{n + 1}^2 - 8a_{n + 1} a_n }}{{1 + a_n + a_{n + 1} }} = \frac{{7\left( {1 + 2^n + 2^{2n - 2} } \right) - 8\left( {1 + 2^n } \right)\left( {1 + 2^{n - 1} } \right)}}{{1 + 1 + 2^{n - 1} + 1 + 2^n }} = \frac{{\left( {2^n + 1} \right)\left( {3.2^n - 1} \right)}}{{3\left( {2^{n - 1} + 1} \right)}}
\]
Ta chỉ cần chứng minh
\[
1 + 2^{n + 1} \le \frac{{\left( {2^n + 1} \right)\left( {3.2^n - 1} \right)}}{{3\left( {2^{n - 1} + 1} \right)}} < 2 + 2^{n + 1}
\]
Dễ chứng minh bằng tương đương hoặc đánh giá. Từ đó, suy ra đpcm.
- hxthanh và baonguyen97 thích
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! 
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
