Chủ đề này có 7 trả lời

[hxthanh]

Trong bài làm của mình, đa số học sinh sử dụng lập luận như sau:

$\begin{array}{| |}
\hline
\text{Cho đường cong( C):} y=f(x) \text{, đường thẳng (d):} y=ax+b \\
\text{ là tiếp tuyến của đường cong ( C) khi và chỉ khi phương trình: }\\
f(x)-(ax+b)=0\\
\text{có nghiệm kép (hay chính xác hơn là nghiệm bội.)}\\
\hline
\end{array}$

Vấn đề nhỏ mà không nhỏ: Hãy chứng minh hoặc bác bỏ suy luận trên

[E. Galois]

Nghiệm bội của phương trình đa thức thì dễ hiểu, nhưng anh Thanh giải thích thế nào về nghiệm bội của phương trình ko đa thức. chẳng hạn:
$$\sin x = x$$

[Crystal]

Vấn đề "có nghiệm kép" ở đây chỉ được áp dụng cho hàm số $f(x)$ khi phương trình tương giao có thể biến đổi tương đương với một phương trình bậc 2.

An toàn nhất là dùng điều kiện sau.
Đường cong $\left( C \right)$ và đường thẳng $(d)$ tiếp xúc nhau khi hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}
f\left( x \right) = ax + b\\
f'\left( x \right) = a
\end{array} \right.$ có nghiệm.

[hxthanh]

Vấn đề "có nghiệm kép" ở đây chỉ được áp dụng cho hàm số $f(x)$ khi phương trình tương giao có thể biến đổi tương đương với một phương trình bậc 2.

An toàn nhất là dùng điều kiện sau.
Đường cong $\left( C \right)$ và đường thẳng $(d)$ tiếp xúc nhau khi hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}
f\left( x \right) = ax + b\\
f'\left( x \right) = a
\end{array} \right.$ có nghiệm.

Cái em nêu thì đương nhiên là đúng rồi, như đã nói vấn đề ở cái lập luận thiếu chặt chẽ ở bài trên.
Đúng như vấn đề mà thầy Thế nêu ra, nghiệm bội của phương trình siêu việt là một điều gì đó khá mơ hồ.

[E. Galois]

Ta chứng minh mệnh đề sau:

Cho hàm số $y=f(x)$ khả vi trong $(a;b)$, liên tục trên $[a;b]$, $x_0 \in (a;b)$ và đường thẳng $y=ax+b$. Nếu tồn tại hàm số $y=g(x)$ xác định tại $x_0$ sao cho:
$$f(x) - (ax+b) = (x-x_0)^2g(x), \ \ \ (1)$$
thì đường thẳng $y=ax+b$ là tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại $x_0$.

Chứng minh:
Từ $(1)$ ta có:
$$f(x_0) = ax_0+b, \ \ \ (2)$$

Mặt khác:
$$\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-ax-b}{x-x_0}+\lim_{x \to x_0}\frac{ax+b-f(x_0)}{x-x_0}$$

$$=\lim_{x \to x_0}(x-x_0)g(x)+\lim_{x \to x_0}\frac{ax+b-ax_0-b}{x-x_0}=a$$

Như vậy: $f'(x_0)=a$
Từ đó và $(2)$ ta có: $b= f(x_0)-f'(x_0).x_0$
Do đó pttt của đồ thị $y=f(x)$ tại $x_0$ là;
$$y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)\Leftrightarrow y=ax+b$$
Ta có điều phải chứng minh.


Bây giờ mời mọi người chứng minh điều ngược lại. Tức là nếu $y=ax+b$ là pttt của đồ thị $y=f(x)$ thì phương trình $f(x)=ax+b$ có nghiệm kép.

[E. Galois]

Lâu lâu, động lại bài này cũng hay.

Ta chứng minh mệnh đề đảo. Tuy nhiên, phải bổ sung thêm giả thiết hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm cấp hai trong $(a;b)$

 

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $[a;b]$, có đạo hàm đến cấp 2 trong $(a;b),x_0 \in (a;b)$. Khi đó, nếu đường thẳng $y=ax+b$ là tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f(x)$ thì tồn tại hàm số $y=g(x)$ xác định tại $x_0$ sao cho:
$$f(x) - (ax+b) = (x-x_0)^2g(x), \ \ \ (1)$$

 

Chứng minh

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại $x_0$ có dạng:

$$y = f'(x_0)(x-x_0) +f(x_0)$$

Do đó, áp dụng định lý Lagrange cho hàm số $y = f(x)$, tồn tại số $c \in (a;b)$ sao cho:

$$f(x) - (ax+b) = f(x) - f(x_0) - f'(x_0)(x-x_0)= f'\left ( c \right )(x-x_0)-f'(x_0)(x-x_0)=(x-x_0)(f'\left ( c \right ) -f'(x_0)$$

Lại áp dụng định lý Lagrange cho hàm số $y = f'(x)$, tồn tại số $d \in (c;x_0)$ (hoặc $d \in (x_0;c)$  sao cho:

$$f(x) - (ax+b) =(x-x_0)^2f''(d)$$

Đặt $g(x) = f''(d)$, ta có điều phải chứng minh.

[tienvuviet]

Theo em cái chỗ $sinx$ với $x$ nó vẫn đúng nếu ta nhìn nhận là hàm $sinx$ là 1 đa thức (khai triển taylor) thì mệnh đề trên vẫn đúng

[brightrainm]

Lâu lâu, động lại bài này cũng hay.

Ta chứng minh mệnh đề đảo. Tuy nhiên, phải bổ sung thêm giả thiết hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm cấp hai trong $(a;b)$

 

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $[a;b]$, có đạo hàm đến cấp 2 trong $(a;b),x_0 \in (a;b)$. Khi đó, nếu đường thẳng $y=ax+b$ là tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f(x)$ thì tồn tại hàm số $y=g(x)$ xác định tại $x_0$ sao cho:
$$f(x) - (ax+b) = (x-x_0)^2g(x), \ \ \ (1)$$

 

Chứng minh

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại $x_0$ có dạng:

$$y = f'(x_0)(x-x_0) +f(x_0)$$

Do đó, áp dụng định lý Lagrange cho hàm số $y = f(x)$, tồn tại số $c \in (a;b)$ sao cho:

$$f(x) - (ax+b) = f(x) - f(x_0) - f'(x_0)(x-x_0)= f'\left ( c \right )(x-x_0)-f'(x_0)(x-x_0)=(x-x_0)(f'\left ( c \right ) -f'(x_0)$$

Lại áp dụng định lý Lagrange cho hàm số $y = f'(x)$, tồn tại số $d \in (c;x_0)$ (hoặc $d \in (x_0;c)$  sao cho:

$$f(x) - (ax+b) =(x-x_0)^2f''(d)$$

Đặt $g(x) = f''(d)$, ta có điều phải chứng minh.

 

Cho em hỏi là khúc cuối phải là $$f(x) - (ax+b) =(x-x_0)(c-x_0)f''(d)$$ chứ ạ, mà vậy thì bài toán mình chưa chứng mình được rồi, phải không ạ