Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

$\fbox{Vấn đề nhỏ }$ Nghiệm kép và tiếp tuyến


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1 hxthanh

hxthanh

  • Thành viên
  • 3327 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 08-06-2012 - 19:09

Trong bài làm của mình, đa số học sinh sử dụng lập luận như sau:

$\begin{array}{| |}
\hline
\text{Cho đường cong( C):} y=f(x) \text{, đường thẳng (d):} y=ax+b \\
\text{ là tiếp tuyến của đường cong ( C) khi và chỉ khi phương trình: }\\
f(x)-(ax+b)=0\\
\text{có nghiệm kép (hay chính xác hơn là nghiệm bội.)}\\
\hline
\end{array}$

Vấn đề nhỏ mà không nhỏ: Hãy chứng minh hoặc bác bỏ suy luận trên
Cuộc sống thật nhàm chán! Ngày mai của ngày hôm qua chẳng khác nào ngày hôm qua của ngày mai, cũng như ngày hôm nay vậy!

#2 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3787 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 08-06-2012 - 22:46

Nghiệm bội của phương trình đa thức thì dễ hiểu, nhưng anh Thanh giải thích thế nào về nghiệm bội của phương trình ko đa thức. chẳng hạn:
$$\sin x = x$$

1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#3 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 08-06-2012 - 22:59

Vấn đề "có nghiệm kép" ở đây chỉ được áp dụng cho hàm số $f(x)$ khi phương trình tương giao có thể biến đổi tương đương với một phương trình bậc 2.

An toàn nhất là dùng điều kiện sau.
Đường cong $\left( C \right)$ và đường thẳng $(d)$ tiếp xúc nhau khi hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}
f\left( x \right) = ax + b\\
f'\left( x \right) = a
\end{array} \right.$ có nghiệm.

#4 hxthanh

hxthanh

  • Thành viên
  • 3327 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 08-06-2012 - 23:55

Vấn đề "có nghiệm kép" ở đây chỉ được áp dụng cho hàm số $f(x)$ khi phương trình tương giao có thể biến đổi tương đương với một phương trình bậc 2.

An toàn nhất là dùng điều kiện sau.
Đường cong $\left( C \right)$ và đường thẳng $(d)$ tiếp xúc nhau khi hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}
f\left( x \right) = ax + b\\
f'\left( x \right) = a
\end{array} \right.$ có nghiệm.

Cái em nêu thì đương nhiên là đúng rồi, như đã nói vấn đề ở cái lập luận thiếu chặt chẽ ở bài trên.
Đúng như vấn đề mà thầy Thế nêu ra, nghiệm bội của phương trình siêu việt là một điều gì đó khá mơ hồ.
Cuộc sống thật nhàm chán! Ngày mai của ngày hôm qua chẳng khác nào ngày hôm qua của ngày mai, cũng như ngày hôm nay vậy!

#5 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3787 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 09-06-2012 - 23:33

Ta chứng minh mệnh đề sau:

Cho hàm số $y=f(x)$ khả vi trong $(a;b)$, liên tục trên $[a;b]$, $x_0 \in (a;b)$ và đường thẳng $y=ax+b$. Nếu tồn tại hàm số $y=g(x)$ xác định tại $x_0$ sao cho:
$$f(x) - (ax+b) = (x-x_0)^2g(x), \ \ \ (1)$$
thì đường thẳng $y=ax+b$ là tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại $x_0$.

Chứng minh:
Từ $(1)$ ta có:
$$f(x_0) = ax_0+b, \ \ \ (2)$$

Mặt khác:
$$\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-ax-b}{x-x_0}+\lim_{x \to x_0}\frac{ax+b-f(x_0)}{x-x_0}$$

$$=\lim_{x \to x_0}(x-x_0)g(x)+\lim_{x \to x_0}\frac{ax+b-ax_0-b}{x-x_0}=a$$

Như vậy: $f'(x_0)=a$
Từ đó và $(2)$ ta có: $b= f(x_0)-f'(x_0).x_0$
Do đó pttt của đồ thị $y=f(x)$ tại $x_0$ là;
$$y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)\Leftrightarrow y=ax+b$$
Ta có điều phải chứng minh.


Bây giờ mời mọi người chứng minh điều ngược lại. Tức là nếu $y=ax+b$ là pttt của đồ thị $y=f(x)$ thì phương trình $f(x)=ax+b$ có nghiệm kép.


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#6 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3787 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 21-04-2013 - 23:09

Lâu lâu, động lại bài này cũng hay.

Ta chứng minh mệnh đề đảo. Tuy nhiên, phải bổ sung thêm giả thiết hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm cấp hai trong $(a;b)$

 

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $[a;b]$, có đạo hàm đến cấp 2 trong $(a;b),x_0 \in (a;b)$. Khi đó, nếu đường thẳng $y=ax+b$ là tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f(x)$ thì tồn tại hàm số $y=g(x)$ xác định tại $x_0$ sao cho:
$$f(x) - (ax+b) = (x-x_0)^2g(x), \ \ \ (1)$$

 

Chứng minh

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại $x_0$ có dạng:

$$y = f'(x_0)(x-x_0) +f(x_0)$$

Do đó, áp dụng định lý Lagrange cho hàm số $y = f(x)$, tồn tại số $c \in (a;b)$ sao cho:

$$f(x) - (ax+b) = f(x) - f(x_0) - f'(x_0)(x-x_0)= f'\left ( c \right )(x-x_0)-f'(x_0)(x-x_0)=(x-x_0)(f'\left ( c \right ) -f'(x_0)$$

Lại áp dụng định lý Lagrange cho hàm số $y = f'(x)$, tồn tại số $d \in (c;x_0)$ (hoặc $d \in (x_0;c)$  sao cho:

$$f(x) - (ax+b) =(x-x_0)^2f''(d)$$

Đặt $g(x) = f''(d)$, ta có điều phải chứng minh.


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#7 tienvuviet

tienvuviet

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 180 Bài viết

Đã gửi 22-04-2013 - 00:40

Theo em cái chỗ $sinx$ với $x$ nó vẫn đúng nếu ta nhìn nhận là hàm $sinx$ là 1 đa thức (khai triển taylor) thì mệnh đề trên vẫn đúng



#8 brightrainm

brightrainm

    Lính mới

  • Thành viên
  • 2 Bài viết

Đã gửi 10-07-2019 - 21:26

Lâu lâu, động lại bài này cũng hay.

Ta chứng minh mệnh đề đảo. Tuy nhiên, phải bổ sung thêm giả thiết hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm cấp hai trong $(a;b)$

 

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $[a;b]$, có đạo hàm đến cấp 2 trong $(a;b),x_0 \in (a;b)$. Khi đó, nếu đường thẳng $y=ax+b$ là tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f(x)$ thì tồn tại hàm số $y=g(x)$ xác định tại $x_0$ sao cho:
$$f(x) - (ax+b) = (x-x_0)^2g(x), \ \ \ (1)$$

 

Chứng minh

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại $x_0$ có dạng:

$$y = f'(x_0)(x-x_0) +f(x_0)$$

Do đó, áp dụng định lý Lagrange cho hàm số $y = f(x)$, tồn tại số $c \in (a;b)$ sao cho:

$$f(x) - (ax+b) = f(x) - f(x_0) - f'(x_0)(x-x_0)= f'\left ( c \right )(x-x_0)-f'(x_0)(x-x_0)=(x-x_0)(f'\left ( c \right ) -f'(x_0)$$

Lại áp dụng định lý Lagrange cho hàm số $y = f'(x)$, tồn tại số $d \in (c;x_0)$ (hoặc $d \in (x_0;c)$  sao cho:

$$f(x) - (ax+b) =(x-x_0)^2f''(d)$$

Đặt $g(x) = f''(d)$, ta có điều phải chứng minh.

 

Cho em hỏi là khúc cuối phải là $$f(x) - (ax+b) =(x-x_0)(c-x_0)f''(d)$$ chứ ạ, mà vậy thì bài toán mình chưa chứng mình được rồi, phải không ạ






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh