Tóm tắt kiến thức cơ bản về dãy số và giới hạn:
1) Dãy số:
- Cấp số cộng: $u_{1}\epsilon R~,~u_n=u_{n-1}+d ~(d\neq 0)$
$u_{n}=u_1+ (n-1)d$
$u_{n}=\frac{u_{n+1}+u_{n-1}}{2}$
$\sum_{i=1}^{n}u_{i}=\frac{n(u_{1}+u_{n})}{2}$
- Cấp số nhân: $u_{1}\epsilon R~,~u_n=qu_{n-1}~(n>2)$$u_{n}=u_1q^{n-1}$
$u_{n}^2=u_{n-1}u_{n+1}$
$u_{1}u_{n}=u_{2}u_{n-1}=...$
$\sum_{i=1}^{n}u_{i}=\frac{u_{1}(1-q^n)}{1-q}$
- Dãy số: $(u_{n}):N\rightarrow R~,~n \mapsto u_{n}(n) =u_{n}~.$$u_n $ bị chặn $ \leftrightarrow (\left | u_n \right |)$ bị chặn trên.
Cho 2 dãy $(u_n) ~,~(p_n)$ với:
$(p_{n}):N\rightarrow N~,~n \mapsto p_{n}(n) =p_{n}~.$
và $p_1<p_2<...<p_n<...$
Khi đó: $(v_{n}):N\rightarrow R~,~n \mapsto v_{n}(n) =u_{p_n}(p_n)=u_{p_n}~.$
là dãy con của $(u_n)$
Nếu $(u_n)$ bị chặn thì dãy con của nó bị chặn.
2) Giới hạn:$\lim_{n\rightarrow \infty }u_n = l$ hoặc$(u_n)\rightarrow l~,~n\rightarrow \infty$
<=>$(\forall \varepsilon >0,\exists n_0,\forall n>n_0,\left | u_n-l \right |<\varepsilon)$
+ Nếu $(u_n)\rightarrow l~,~n\rightarrow \infty$ thì l duy nhất
+ Mọi dãy hội tụ đều bị chặn
+ Mọi dãy tăng (giảm) và bị chặn trên (dưới) đều hội tụ
+ Mọi tập hợp con của R bị chặn trên (dưới) đều có một chặn trên (dưới) nhỏ nhất (lớn nhất).
$(u_n)\rightarrow l_1,~(v_n)\rightarrow l_2~,~n\rightarrow \infty$
+ Nếu $u_n\leq v_n$ thì $l_1\leq l_2$
+ Nếu $l_1\leq l_2$ thì từ một thứ hạng nào đó $u_n\leq v_n$
Nếu $u_n\leq v_n\leq w_n$ và $(u_n)\rightarrow l,~(w_n)\rightarrow l~,~n\rightarrow \infty$ thì $(v_n)\rightarrow l~,~n\rightarrow \infty$
$\lim_{n\rightarrow \infty }u_n = +\infty$ hoặc$(u_n)\rightarrow +\infty~,~n\rightarrow \infty$
<=>$(\forall A >0,\exists n_0,\forall n>n_0\rightarrow u_n>A)$
$\lim_{n\rightarrow \infty }u_n = -\infty$ hoặc$(u_n)\rightarrow -\infty~,~n\rightarrow \infty$
<=>$(\forall B<0,\exists n_0,\forall n>n_0\rightarrow u_n<B)$
Các dạng vô định: $\infty-\infty~,~0.\infty~,~\frac{0}{0}~,~\frac{\infty}{\infty}$
$(u_n)$ là một dãy trong đoạn [a,b] và f là một Hs xđ trong đoạn [a,b]:
+ Nếu $u_n$ hội tụ đến l trong đoạn [a,b] và f liên tục tại l thì dãy f($u_n$ ) hội tụ đến f(l).
+ Nếu bất kì dãy $(u_n)$ nào hội tụ đến l trong đoạn [a,b] và các dãy t/ư (f($u_n$ )) hội tụ đến f(l) thì hs f liên tục tại l.
Cho hs f lt trong [a,b], có miền giá trị chứa trong [a,b] và
$u_1\epsilon [a,b]~,~u_n=f(u_{n-1})~,~(n\geq 2)$:
+ Nếu f là hs tăng thì ($u_n$ ) đơn điệu và ht đến l là nghiệm PT f(x) = x.
+ Nếu f là hs giảm thì các dãy con ($u_{2n}$ ) và ($u_{2n+1}$ ) của ($u_n$ ) đơn điệu và ngược chiều biến thiên.
4) Dãy quy nạp tuyến tính:- Cấp 1: $u_n =au_{n-1}+b~,~a\neq 1~,~b\neq 0~,~n\geq 2~,~u_1~\epsilon ~R.$
đưa về cấp số nhân: $v_n=av_{n-1}~,~v_n=u_n+h~,~h=\frac{b}{a-1}.$
-Cấp 2:$u_n =au_{n-1}+bu_{n-2}(1)~,~b\neq 0~,~n\geq 3~,~u_1,u_2,a,b~\epsilon ~R.$
PT đặc trưng: $r^2-ar-b=0$ :
+ Nếu có 2 nghiệm $r_1~,~r_2$ thì các dãy $(r_1^n)~,~(r_2^n)~,~(\alpha r_1^n+\beta r_2^n)$ đều thỏa mãn (1) và $\alpha ~,~\beta $ xđ duy nhất:
$\left\{\begin{matrix} r_1\alpha +r_2\beta=u_1 & \\ r_1^2\alpha +r_2^2\beta=u_2& \end{matrix}\right.$
+ Nếu có nghiệm kép $r_1=r_2=\frac{a}{2}$ và $b=-\frac{a^2}{4}$
thì tìm được dãy $((\frac{a}{2})^nv_n)$ thỏa mãn (1) với $v_n-v_{n-1}=v_{n-1}-v_{n-2}$ hay $v_{n}$ là cấp số cộng hay $v_{n}=\alpha +\beta n ~;~ \alpha ~,~\beta$ duy nhất tính bởi:
$\left\{\begin{matrix} (\alpha +\beta)r_1=u_1 & \\ (\alpha +2\beta)r_1^2=u_2& \end{matrix}\right.$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi binhmetric: 09-06-2012 - 14:49