Chủ đề này có 2 trả lời

[Peter Pan]

Tối nay Tây Ban Nha xuất quân nên post một bài toán vui từ một đề thi TBN cho anh em chém
Xung quanh một trường đua xe hình tròn có đặt các thùng xăng. Biết rằng tổng lượng xăng có trong
tất cả các thùng này đủ cho xe chạy được 1 vòng. Chứng minh rằng luôn
tồn tại một vị trí sao cho một chiếc xe (ban đầu hết xăng) xuất phát từ đó
có đủ xăng để chạy 1 vòng.

[perfectstrong]

Lăng xăng một chút nhé ông anh
Lời giải:
Ta đánh số các thùng xăng theo chiều kim đồng hồ từ $1$ đến $n$. Giả sử xe chạy từ vị trí $1$.
Gọi $a_i$ là lượng xăng khi xe đến vị trí bình $i$. Gọi $b_{i}$ là lượng xăng cần để đi từ bình $i$ đến $i+1$.
Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$, vẽ các điểm $A_i(a_i;a_i-b_i)$. Chọn ra điểm $A_j$ có tung độ thấp nhất.
Lấy điểm đó làm gốc tọa độ mới. Và $j$ chính là vị trí cần tìm.
@winwave: anh bik là chú sẽ post mà [Đ.Đ.T]
Ôn lại chút mà anh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 10-06-2012 - 21:40

[Karl Heinrich Marx]

Lời giải khác của mình cho bài toán này.
Giả sử đánh số trên đường tròn các điểm từ 1 đến n.Trước tiên gọi $a_i$ là quãng đường đi được từ lượng xăng ở điểm thứ $i$ và $b_i$ là quãng đường đi từ điểm thứ $i$ đến điểm $i+1$. Và $c_i=a_i-b_i$, ta có:$c_1+c_2+...+c_n=0$
Ta lại chọn một vòng tròn và đánh lên đó $n$ điểm đánh số thứ tự, điểm thứ $i$ được gán cho số $c_i$, quy ước $i$ là điểm ko âm nếu $c_i \ge 0$ và ngược lại. Ta chọn một điểm $i$ bất kì sao cho $c_i \ge 0$, tô màu điểm này. Ta thực hiện liên tiếp các thao tác, từ điểm tô màu lấy tổng các điểm liên tiếp sau nó đến khi nào có 1 điểm $k$ làm cho tổng âm thì ta tô màu điểm ko âm gần nhất bên phải của điểm $k$.
Dễ dàng có các nhận xét:
Tổng các số từ một điểm được tô màu đến điểm kề bên trái của một điểm được tô màu khác là số âm.
Nếu thao tác được thực hiện liên tục ko ngừng thì phải có lúc tô màu lại điểm đã được tô.
Từ 2 điều trên dẫn đến vô lí.Do đó phải có lúc thao tác tô màu không thể thực hiện được. Vậy tồn tại từ 1 điểm tô màu mà lấy tổng liên tiếp các số sau nó cho ta toàn tổng ko âm.