$\int\limits_{a}^{b}|f(x)|dx$
Sử dụng tính chất cơ bản $\int\limits_{a}^{b}g(x)dx=\int\limits_{a}^{c}g(x)dx+\int\limits_{c}^{b}g(x)dx$
Cách 1. Xét dấu biểu thức $f(x)$ để khử dấu giá trị tuyệt đối.
Cách 2. (Không cần xét dấu). Giải phương trình $f(x)=0 $ trên $(a;b)$. Giả sử trên khoảng $(a;b)$ phương trình có nghiệm $a<x_1<\cdots <x_n<b$. Do trên mỗi khoảng $(x_i;x_{i+1})$ biểu thức $f(x)$ luôn mang cùng một dấu nên ta có
$\int\limits_{a}^{b}|f(x)|dx=\int\limits_{a}^{x_1}|f(x)|dx+\int\limits_{x_1}^{x_2}|f(x)|dx+\ldots+\int\limits_{x_n}^{b}|f(x)|dx$
$=\left|\int\limits_{a}^{x_1}f(x)dx\right|+\left|\int\limits_{x_1}^{x_2}f(x)dx\right|+\ldots+\left|\int\limits_{x_n}^{b}f(x)dx\right|$
Các ví dụ.
Ví dụ 1. Tính $I=\int\limits_{0}^{2}|1-x|dx$
Giải.
Cách 1.
$1-x=0\Leftrightarrow x=1$
Vì $1-x0$ với $x\in (0;1)$ nên ta có
$I=\int\limits_{0}^{1}(1-x)dx+\int\limits_{1}^{2}(x-1)dx=\left(x-\dfrac{x^2}{2}\right)\Big|_{0}^{1}+\left(\dfrac{x^2}{2}-x\right)\Big|_{1}^{2}=1$
Cách 2.
Giải phương trình $1-x=0\Leftrightarrow x=1\in (0;2)$
$I=\int\limits_{0}^{1}|1-x|dx+\int\limits_{1}^{2}|1-x|dx=\left|\int\limits_{0}^{1}(1-x)dx\right|+\left|\int\limits_{1}^{2}(1-x)dx\right|$
$=\left|\left(x-\dfrac{x^2}{2}\right)\Big|_{0}^{1}\right|+\left|\left(x-\dfrac{x^2}{2}\right)\Big|_{1}^{2}\right|$
$=\left|1-\dfrac{1}{2}\right|+\left|\dfrac{1}{2}-1\right|=1$
Ví dụ 2. Tính $I=\int\limits_{0}^{2}|x^2-x|dx$
Giải
$x^2-x=0\Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=1$
$I=\int\limits_{0}^{1}|x^2-x|dx+\int\limits_{1}^{2}|x^2-x|dx=\left|\int\limits_{0}^{1}(x^2-x)dx\right|+\left|\int\limits_{1}^{2}(x^2-x)dx\right|$
$=\left|\left(\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^2}{2}\right)\Big|_{0}^{1}\right|+\left|\left(\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^2}{2}\right)\Big|_{1}^{2}\right|=\left|\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}\right|+\left|\left(\dfrac{8}{3}-2\right)-\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}\right)\right|$
$=\dfrac{1}{6}+\dfrac{5}{6}=1$
Ví dụ 3. Tính $I=\int\limits_{0}^{2\pi}\sqrt{1-\cos 2x}dx$
Giải.
Ta có $I=\int\limits_{0}^{2\pi}\sqrt{2\sin^2x}dx=\sqrt{2}\int\limits_{0}^{2\pi}|\sin x|dx$
Giải phương trình $\sin x=0\Leftrightarrow x=k\pi\Rightarrow $ có nghiệm $x=\pi\in (0;2\pi)$
Do đó $I=\sqrt{2}\int\limits_{0}^{\pi}|\sin x|dx+\sqrt{2}\int\limits_{\pi}^{2\pi}|\sin x|dx$
$=\sqrt{2}\left|\int\limits_{0}^{\pi}\sin xdx\right|+\sqrt{2}\left|\int\limits_{\pi}^{2\pi}\sin xdx\right|$
$=\sqrt{2}\left|(-\cos x)\Big|_{0}^{\pi}\right|+\sqrt{2}\left|(-\cos x)\Big|_{\pi}^{2\pi}\right|=\sqrt{2}|-(-1)+1|+\sqrt{2}|-1-1|=4\sqrt{2}$
Ví dụ 4. Tính $I=\int\limits_{0}^{3}\left|2^x-4\right|dx$
Giải.
$2^x-4=0\Leftrightarrow x=2\in (0;3)$
$I=\left|\int\limits_{0}^{2}(2^x-4)dx\right|+\left|\int\limits_{2}^{3}(2^x-4)dx\right|$
$=\left|\left(\dfrac{2^x}{\ln 2}-4x\right)\Big|_{0}^{2}\right|+\left|\left(\dfrac{2^x}{\ln 2}-4x\right)\Big|_{2}^{3}\right|$
$=\left|\dfrac{3}{\ln 2}-8\right|+\left|\dfrac{4}{\ln 2}-4\right|=8-\dfrac{3}{\ln 2}+\dfrac{4}{\ln 2}-4=4+\dfrac{1}{\ln 2}$.
Bài tập đề nghị.
Bài 1. Tính $I=\int\limits_{0}^{2\pi}\sqrt{1+\cos x}dx$
ĐS: $I=4\sqrt{2}$
Bài 2. Tính $I=\int\limits_{-3}^{3}|x^2-1|dx$
ĐS: $I=\dfrac{44}{3}$
Bài 3. Tính $I=\int\limits_{0}^{\sqrt{3}}\dfrac{|1-x^2|}{1+x^2}dx$
ĐS: $I=\sqrt{3}-2+\dfrac{\pi}{3}$.
Nguồn: mathblog.org