Tìm các bộ 4 số sắp xếp theo thứ tự $(x,y,z,w)$ của các số nguyên với $0\leq x,y,z,w\leq 36$ để $$x^2+y^2\equiv z^3+w^3(\bmod 37)$$
(Olympic Thổ Nhĩ Kì):
Tìm các bộ 4 số sắp xếp theo thứ tự $(x,y,z,w)$ của các số nguyên với $0\leq x,y,z,w\leq 36$ để $x^2+y^2\equiv z^3+w^3(\bmod 37)$
Bắt đầu bởi Ispectorgadget, 13-06-2012 - 10:51
#2
Đã gửi 30-07-2018 - 23:45
Ở trong bài kí hiệu ''='' là đồng dư
Trước hết ta cần tìm số cặp (x,y) t/m x^2+y^2=a(mod 37)
Nếu a=0, ta có: y^2=(6x)^2 (mod 37) -> y=+-6x(mod 37)
Vì vậy có 2.36+1 cặp số (x,y) ở TH này
Với a khác 0, x^2+y^2=(x-6y)(x+6y)=a(mod 36)
Với mỗi a và (x-6y) thì thiết lập ánh xạ ta thấy chỉ có duy nhất một (x+6y) để ghép cặp
Mà (x+6y) nhận 36 giá trị nên có 36 cặp (x,y) với mỗi a
Mặt khác z^3+t^3=0 (mod 36) ->t=-z hay t=11z hay t=-10z(mod 37)
Vậy để z^3+t^3=0 (mod 37), ta có 36.3+1=109 cặp (z,t)
Với x^2+y^2=z^3+t^3=0(mod 37) thì có 109.37 bộ (x,y,z,t)
Với x^2+y^2=z^3+t^3 khác 0(mod 37) thì có (37^2-109).36 bộ (x,y,z,t)
Cộng 2 vế lại ta đc đáp án là 53317
- Francis Berdano yêu thích
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh