Chủ đề này có 1 trả lời

[Ispectorgadget]

Tìm các bộ 4 số sắp xếp theo thứ tự $(x,y,z,w)$ của các số nguyên với $0\leq x,y,z,w\leq 36$ để $$x^2+y^2\equiv z^3+w^3(\bmod 37)$$
(Olympic Thổ Nhĩ Kì):

[nguyenhaan2209]

Ở trong bài kí hiệu ''='' là đồng dư

Trước hết ta cần tìm số cặp (x,y) t/m x^2+y^2=a(mod 37)

Nếu a=0, ta có: y^2=(6x)^2 (mod 37) -> y=+-6x(mod 37)

Vì vậy có 2.36+1 cặp số (x,y) ở TH này

Với a khác 0, x^2+y^2=(x-6y)(x+6y)=a(mod 36)

Với mỗi a và (x-6y) thì thiết lập ánh xạ ta thấy chỉ có duy nhất một (x+6y) để ghép cặp

Mà (x+6y) nhận 36 giá trị nên có 36 cặp (x,y) với mỗi a

Mặt khác z^3+t^3=0 (mod 36) ->t=-z hay t=11z hay t=-10z(mod 37)

Vậy để z^3+t^3=0 (mod 37), ta có 36.3+1=109 cặp (z,t)

 

Với x^2+y^2=z^3+t^3=0(mod 37) thì có 109.37 bộ (x,y,z,t)

Với x^2+y^2=z^3+t^3 khác 0(mod 37) thì có (37^2-109).36 bộ (x,y,z,t)

Cộng 2 vế lại ta đc đáp án là 53317