Cho $a,b,c$ là các cạnh của tam giác có chu vi không vượt quá $2\pi$. Chứng minh $\sin a,\sin b,\sin c$ là các cạnh của một tam giác.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nesbit: 24-05-2013 - 00:24
latex
Cho $a,b,c$ là các cạnh của tam giác có chu vi không vượt quá $2\pi$. Chứng minh $\sin a,\sin b,\sin c$ là các cạnh của một tam giác.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nesbit: 24-05-2013 - 00:24
latex
ta có:
$a,b,c$ là $3$ cạnh của tam giác nên: $a+b>c$
$b+c>a$
$c+a>b$
từ:$0<a+b+c<2\pi$
suy ra:$0<a,b,c<\pi$
$\sin a+\sin b=2\sin (\frac{a+b}{2})\cos (\frac{a-b}{2})$
ta có: $\left | \frac{\pi }{2} -\frac{a+b}{2} \right |<\left |\frac{\pi }{2}-\frac{c}{2} \right |$( cái này chứng minh khá đơn giản,bỏ trị tuyệt đối,....nên mình ko ghi phần chứng minh này nha!!)
và $0<\frac{c}{2}<\frac{\pi }{2}$
$0<\frac{a+b}{2}<\pi$
nên $\sin (\frac{a+b}{2})> \sin \frac{c}{2}$$\left ( 1 \right )$
mặt khác,ta cũng có:
$\left | \frac{a-b}{2} \right |<\frac{c}{2}$
và:$0< \frac{c}{2}< \frac{\pi }{2}$
$-\frac{\pi }{2}<\frac{a-b}{2}<\frac{\pi }{2}$(do $\left | \frac{a-b}{2} \right |<\frac{c}{2}$$<\frac{\pi }{2}$)
nên:$\cos (\frac{a-b}{2})> \cos \frac{c}{2}$$\left ( 2 \right )$
từ (1),(2) suy ra: $\sin a+\sin b>\sin c$
tương tự,ta cũng chứng minh được:$\sin b+\sin c>\sin a$
$\sin c+\sin a>\sin b$
vậy: $\sin a,\sin b,\sin c$ là các cạnh của một tam giác!
Bài này của anh/chú/bác QUANVU link qua từ China TST 2004 mà, còn được thảo luận ở AoPS
God made the integers, all else is the work of man.
People should not be afraid of their goverment, goverment should be afraid of their people.
lời giải của mình là ntn:
giả sử
$ sina <sinb<sinc $
Nếu thì
do đó .
Nếu $ \dfrac{a+b}{2}< \dfrac{\pi}{2} => sin\dfrac{a+b}{2} > sin\dfrac{c}{2} $
Nếu $ \dfrac{a+b}{2}\geq \dfrac{\pi}{2} => sin\dfrac{a+b}{2}>sin\dfrac{2\pi-c}{2}=sin\dfrac{c}{2}$
Suy ra
$ sina+sinb=2sin\dfrac{a+b}{2}.cos\dfrac{a-b}{2} > 2sin\dfrac{c}{2}cos\dfrac{c}{2}=sinc $
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vuminhhoang: 25-05-2013 - 18:32
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh