Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Chứng minh $\sin a,\sin b,\sin c$ là các cạnh của một tam giác.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 QUANVU

QUANVU

    B&S-D

  • Hiệp sỹ
  • 4378 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 15-10-2005 - 17:06

Cho $a,b,c$ là các cạnh của tam giác có chu vi không vượt quá $2\pi$. Chứng minh $\sin a,\sin b,\sin c$ là các cạnh của một tam giác.
 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nesbit: 24-05-2013 - 00:24
latex

1728

#2 chagtraife

chagtraife

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 154 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Nguyễn Diêu_Bình Định

Đã gửi 24-05-2013 - 14:17

ta có:

$a,b,c$ là $3$ cạnh của tam giác nên:        $a+b>c$

$b+c>a$

$c+a>b$

từ:$0<a+b+c<2\pi$

suy ra:$0<a,b,c<\pi$

 

 

$\sin a+\sin b=2\sin (\frac{a+b}{2})\cos (\frac{a-b}{2})$

 

 

ta có: $\left | \frac{\pi }{2} -\frac{a+b}{2} \right |<\left |\frac{\pi }{2}-\frac{c}{2} \right |$( cái này chứng minh khá đơn giản,bỏ trị tuyệt đối,....nên mình ko ghi phần chứng minh này nha!!)

 

và $0<\frac{c}{2}<\frac{\pi }{2}$

$0<\frac{a+b}{2}<\pi$

 

nên $\sin (\frac{a+b}{2})> \sin \frac{c}{2}$$\left ( 1 \right )$

 

 

mặt khác,ta cũng có:

 

$\left | \frac{a-b}{2} \right |<\frac{c}{2}$

và:$0< \frac{c}{2}< \frac{\pi }{2}$

$-\frac{\pi }{2}<\frac{a-b}{2}<\frac{\pi }{2}$(do $\left | \frac{a-b}{2} \right |<\frac{c}{2}$$<\frac{\pi }{2}$)

 

 

nên:$\cos (\frac{a-b}{2})> \cos \frac{c}{2}$$\left ( 2 \right )$

 

 

từ (1),(2) suy ra: $\sin a+\sin b>\sin c$

tương tự,ta cũng chứng minh được:$\sin b+\sin c>\sin a$

$\sin c+\sin a>\sin b$

 

vậy: $\sin a,\sin b,\sin c$ là các cạnh của một tam giác!

 

 

 

 

 



#3 ilovelife

ilovelife

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 371 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đang ở ẩn

Đã gửi 24-05-2013 - 15:05

Bài này của anh/chú/bác QUANVU link qua từ China TST 2004 mà, còn được thảo luận ở AoPS


God made the integers, all else is the work of man.

People should not be afraid of their goverment, goverment should be afraid of their people.

 


#4 vuminhhoang

vuminhhoang

    Không Đối Thủ

  • Thành viên
  • 167 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ninh Bình
  • Sở thích:rượu

Đã gửi 25-05-2013 - 18:31

lời giải của mình là ntn:

 

giả sử

 

$ sina <sinb<sinc $ 
Nếu 6decb4232b34bd36549c0218f47a5b3f46884ef4 thì dd348b27c32e7ed86343d532f47234953ca67898 
do đó 52fc37aeb531933654e37b6e8ae987da6321b5e3
Nếu $ \dfrac{a+b}{2}< \dfrac{\pi}{2} =>   sin\dfrac{a+b}{2} > sin\dfrac{c}{2} $ 
Nếu $ \dfrac{a+b}{2}\geq \dfrac{\pi}{2} =>  sin\dfrac{a+b}{2}>sin\dfrac{2\pi-c}{2}=sin\dfrac{c}{2}$ 
Suy ra 
$ sina+sinb=2sin\dfrac{a+b}{2}.cos\dfrac{a-b}{2} > 2sin\dfrac{c}{2}cos\dfrac{c}{2}=sinc $


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vuminhhoang: 25-05-2013 - 18:32

Mời các mem tham gia

 

100 bài hàm số sưu tầm


#5 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 488 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 02-07-2013 - 21:43

Chấm bài:

chagtraife: 10  điểm

vuminhhoang: 5 điểm


1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh