Chủ đề này có 13 trả lời

[QUANVU]

http://dientuvietnam...,p_2,...,p_{25} là các số nguyên tố nhỏ hơn http://dientuvietnam...ex.cgi?2004.Tìm số nguyên http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?T lớn nhất sao cho mọi số nguyên dương không lớn hơn http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?T có thể biểu diễn như là tổng các ước phân biệt của http://dientuvietnam..._1.p_2...p_{25})^{2004}.

Nhìn lại tất cả các bài toán của China TST 2004

[lehoan]

Bổ đề 1:
Giả sử dãy số nguyên dương http://dientuvietnam...a_1<a_2<...<a_n thỏa mãn http://dientuvietnam...a_1 a_2 ... a_n là số nguyên dương T lớn nhất thỏa mãn với mọi số nguyên dương không lớn hơn T đều có thể biểu diễn được dưới dạng tổng của các số hạng phân biệt của dãy.
Chứng minh: Quy nạp theo n.
Bổ đề 2:
Giả sử dãy số nguyên dương http://dientuvietnam...a_1<a_2<...<a_n thỏa mãn http://dientuvietnam...a_1 a_2 ... a_n là số nguyên dương T lớn nhất thỏa mãn với mọi số nguyên dương không lớn hơn T đều có thể biểu diễn được dưới dạng tổng của các số hạng phân biệt của dãy.

Chứng minh:
ta có http://dientuvietnam...p_1p_2...p_{25})^{2004}
Kí hiệu http://dientuvietnam...n_1<n_2<...<n_N là tất cả các ước của M.
Trường hợp 1: http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?min\{p_1;p_2;...;p_{25}\}=2
Ta sẽ chứng minh http://dientuvietnam...metex.cgi?p_1=2 và http://dientuvietnam..._{25}^{t_{25}}. Nếu http://dientuvietnam...tex.cgi?t=2004. Ta có http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?2^x<p_2<2^{x+1}.
Suy ra http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?n_i<2^{2004-x}p_2^{t_2+1}p_3^{t_3}...p_{25}^{t_{25}}<2n_i.
Vậy dãy http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?n_1;n_2;...;n_N thỏa mãn giả thiết của bổ đề 2. Nên ta có
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?T=n_1+n_2+...+n_N=\dfrac{(p_1^{2005}-1)...(p_{25}^{2005}-1)}{(p_1-1)...(p_{25}-1)}.

Trường hợp 2:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?min\{p_1;p_2;...;p_{25}\}>2 thì http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?T=1.

[QUANVU]

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?min\{p_1;p_2;...;p_{25}\}>2 thì http://dientuvietnam...imetex.cgi?M=1.

???

Nhân tiện chú kể về cái quá trình chú tiếp cận bài toán này đi,hai bổ đề chú tạo ra à?

[lehoan]

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?min\{p_1;p_2;...;p_{25}\}>2 thì http://dientuvietnam...mimetex.cgi?M=1

Ta có trong trường hợp trên thì do http://dientuvietnam...gi?n_1=1;n_2>2. Nên số http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?2 không thể biểu diễn được nên http://dientuvietnam...imetex.cgi?M<2. Suy ra http://dientuvietnam...imetex.cgi?M=1.

Nhân tiện chú kể về cái quá trình chú tiếp cận bài toán này đi,hai bổ đề chú tạo ra à?

Thực ra cái bổ đề 1 này là đề thi của Nam tư năm 1992 thì phải ( cũng không rõ nữa) và mọi người có thể tìm thấy ở trong tuyển tập 200 bài toán gì gì đó. Còn cái bổ đề 2 là một hệ quả của bổ đề 1 mà thôi.

[QUANVU]

Ý anh là T chứ không phải M .Hóa ra cái bổ đề 1 có rồi.

[lehoan]

Ý anh là T chứ không phải M .Hóa ra cái bổ đề 1 có rồi.

Em quên mất. Em đã sửa lại rồi.
@: cái bổ đề 1 rất hay và có rất nhiều bài toán có thể giải được bằng cách áp dụng bài toán đó.

[QUANVU]

@: cái bổ đề 1 rất hay và có rất nhiều bài toán có thể giải được bằng cách áp dụng bài toán đó.

Hôm nào chú kê tất cả lên đây cho chủ đề thêm to nhé!Cảm ơn chú.

[lehoan]

Hì hì nói là rất nhiều cho vui thôi chứ thực ra thì chỉ có vài bài thôi.

Bài 1: Cho k là số nguyên dương >1. Giả sử http://dientuvietnam...?a_1;a_2;..;a_k là các số nguyên dương thỏa mãn http://dientuvietnam...a_2 ... a_k<2k. Chứng minh rằng các số nguyên dương thuộc đoạn http://dientuvietnam..._1 a_2 ... a_k] đều có thể biểu diễn được dưới dạng tổng của các số phân việt thuộc dãy trên ( Singapo).
Bài 2: Giả sử http://dientuvietnam...a_1;a_2;...;a_n là dãy các số nguyên dương thỏa mãn http://dientuvietnam...cgi?i=1;2;...;n và http://dientuvietnam...a_1 a_2 ... a_n
chẵn. Chứng minh rằng ta có thể chia n sô đó thành hai tập phân biệt mà tổng các số trong hai phần bằng nhau.
Bài 3:
Chứng minh rằng mọi số nguyên dương phân biệt đều có thể viết thành tổng của một số số hạng của dãy Fibonaci. ( Cái này đã từng được áp dụng trong 1 bài thi Quốc tế năm 1993)
Bài 4:
Giả sử dãy http://dientuvietnam...imetex.cgi?(F_n) thỏa mãn http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?k=\sum\limit_{i=1}^{2005}a_iF_i
Với

[lehoan]

Bài 5: Chứng minh rằng mọi số nguyên dương đều biểu diễn thành tổng của các số phân biệt có dạng http://dientuvietnam...etex.cgi?2^a3^b

[hoang]

Biểu diễn trong hệ cơ số 3

[QUANVU]

Những vấn đề liên quan đến bài 5 mà lehoan post ,là cái gọi là biểu diễn 3-trơn(smoo...),tôi đã up lên diễn đàn mình một bài báo trên AMM rồi thì phải,không nhớ ở đâu nữa?

[dhkhtn-tnt]

Thấy loại toán bd thú vị quá nên em post bài này vậy,:
Với mọi n thì tồn tại sự lựa chọn phù hợp của dấu http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi? và http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?- ta có:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p_i là SNT thứ i
Đây là định lí H.F.Scherk
Nguồn:
Sierpinxki, chapter3

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dhkhtn-tnt: 09-12-2005 - 18:29

[leecom]

Sao khong the doc duoc cac ki hieu toan hoc vay???

[QUANVU]

Sao khong the doc duoc cac ki hieu toan hoc vay???

Tất cả các bài post từ trước đều vậy cả. Các admin đang sửa.